Quais das seguintes desigualdades podem ou não ser usadas para mostrar que a série
é convergente? Não esqueça de justificar.
Passo 1
O enunciado dá a série
e apresenta a desigualdade
A pergunta é: essa (outras similares) desigualdade pode ser usada para mostrar que a série
é convergente? Listei as informações relevantes:
- Termo geral da série:
. - A desigualdade proposta:
. - Preciso decidir se essa desigualdade permite concluir convergência, e justificar.
Passo 2
Verificando a desigualdade proposta. Para
temos
, e dividindo ambos os lados por
obtemos
Portanto a desigualdade é verdadeira para todos
. Aqui não fiz nenhuma mágica: multipliquei/desmembrei comparando numeradores, sabendo que o denominador é positivo.
Passo 3
Explicando o teste de comparação (o que é permitido concluir a partir de uma desigualdade entre termos):
- Se temos duas sequências não-negativas
e tais que e converge, então necessariamente também converge. Esse é o teste de comparação direta (maior convergente implica menor convergente). - Ao contrário, se
e converge, não podemos concluir nada sobre : um termo maior pode produzir divergência mesmo que o menor convirja.
Portanto a direção da desigualdade importa: para provar convergência de
por comparação direta, precisamos de uma desigualdade do tipo
, não
.
Passo 4
Mostro com um contraexemplo simples por que
com
convergente não garante
convergente. Tome
(série convergente, pois é p-série com
) e
(série harmônica, divergente). Para
temos
ou seja,
e ainda assim
converge e
diverge. Isso mostra que a desigualdade apresentada no enunciado (que é do tipo
) não é útil para concluir convergência de
.
Passo 5
Logo, a desigualdade dada
NÃO pode ser usada para provar que
é convergente. Ela apenas diz que os termos são maiores que
, cuja série converge, mas isso não implica nada sobre a série dos termos maiores.
Passo 6
Agora mostro a desigualdade correta que permite concluir convergência. Para
temos
. Então
Portanto
. Como a série
é uma p-série com
, ela converge. Pelo teste de comparação direta (menor que uma série convergente), concluímos que
converge.
Passo 7
Como alternativa (útil na prova), pode-se usar o teste da comparação por limite. Calcule
Esse limite finito e não nulo comparam
com
; como
converge, pela comparação por limite
também converge. Isso confirma a conclusão anterior.
Resposta
A desigualdade
NÃO pode ser usada para provar convergência da série.
Pode-se usar e, como
converge, conclui-se que
converge.
Pode-se usar