Quais das seguintes desigualdades podem ou não ser usadas para mostrar que a série \sum_{n} \frac{n}{n^{3}+1} é convergente? Não esqueça de justificar.
\frac{n}{n^{3}+1} \geq \frac{1}{n^{3}+1}

Passo 1

O enunciado dá a série \sum_{n} \frac{n}{n^{3}+1} e apresenta a desigualdade
\frac{n}{n^{3}+1} \geq \frac{1}{n^{3}+1}.
A pergunta é: essa (outras similares) desigualdade pode ser usada para mostrar que a série \sum_{n} \frac{n}{n^{3}+1} é convergente? Listei as informações relevantes:
  • Termo geral da série: a_n=\frac{n}{n^{3}+1}.
  • A desigualdade proposta: a_n \ge \frac{1}{n^{3}+1}.
  • Preciso decidir se essa desigualdade permite concluir convergência, e justificar.

Passo 2

Verificando a desigualdade proposta. Para n\ge 1 temos n\ge 1, e dividindo ambos os lados por n^{3}+1>0 obtemos
\frac{n}{n^{3}+1} \ge \frac{1}{n^{3}+1}.
Portanto a desigualdade é verdadeira para todos n\ge 1. Aqui não fiz nenhuma mágica: multipliquei/desmembrei comparando numeradores, sabendo que o denominador é positivo.

Passo 3

Explicando o teste de comparação (o que é permitido concluir a partir de uma desigualdade entre termos):
  • Se temos duas sequências não-negativas a_n e b_n tais que 0\le a_n \le b_n e \sum b_n converge, então necessariamente \sum a_n também converge. Esse é o teste de comparação direta (maior convergente implica menor convergente).
  • Ao contrário, se a_n \ge b_n e \sum b_n converge, não podemos concluir nada sobre \sum a_n: um termo maior pode produzir divergência mesmo que o menor convirja.
Portanto a direção da desigualdade importa: para provar convergência de a_n por comparação direta, precisamos de uma desigualdade do tipo a_n \le (\text{algo convergente}), não a_n \ge (\text{algo convergente}).

Passo 4

Mostro com um contraexemplo simples por que a_n\ge b_n com \sum b_n convergente não garante \sum a_n convergente. Tome b_n=\frac{1}{n^{2}} (série convergente, pois é p-série com p=2>1) e a_n=\frac{1}{n} (série harmônica, divergente). Para n\ge 1 temos
\frac{1}{n} \ge \frac{1}{n^{2}},
ou seja, a_n\ge b_n e ainda assim \sum b_n converge e \sum a_n diverge. Isso mostra que a desigualdade apresentada no enunciado (que é do tipo a_n\ge b_n) não é útil para concluir convergência de a_n.

Passo 5

Logo, a desigualdade dada
\frac{n}{n^{3}+1} \ge \frac{1}{n^{3}+1}
NÃO pode ser usada para provar que \sum_{n} \frac{n}{n^{3}+1} é convergente. Ela apenas diz que os termos são maiores que 1/(n^{3}+1), cuja série converge, mas isso não implica nada sobre a série dos termos maiores.

Passo 6

Agora mostro a desigualdade correta que permite concluir convergência. Para n\ge 1 temos n^{3}+1 \ge n^{3}. Então
\frac{n}{n^{3}+1} \le \frac{n}{n^{3}} = \frac{1}{n^{2}}.
Portanto 0\le a_n \le \frac{1}{n^{2}}. Como a série \sum \frac{1}{n^{2}} é uma p-série com p=2>1, ela converge. Pelo teste de comparação direta (menor que uma série convergente), concluímos que
\sum_{n} \frac{n}{n^{3}+1}
converge.

Passo 7

Como alternativa (útil na prova), pode-se usar o teste da comparação por limite. Calcule
\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{n}{n^{3}+1}}{\frac{1}{n^{2}}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{n^{3}+1}\cdot n^{2} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^{3}}{n^{3}+1} = 1.
Esse limite finito e não nulo comparam a_n com 1/n^{2}; como \sum 1/n^{2} converge, pela comparação por limite \sum a_n também converge. Isso confirma a conclusão anterior.

Resposta

A desigualdade \frac{n}{n^{3}+1} \geq \frac{1}{n^{3}+1} NÃO pode ser usada para provar convergência da série.
Pode-se usar \frac{n}{n^{3}+1} \le \frac{1}{n^{2}} e, como \sum \frac{1}{n^{2}} converge, conclui-se que \sum \frac{n}{n^{3}+1} converge.

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