Questão 3.13 A equação geral de um campo de velocidade é dada por:
V(x, y)=[x \cdot(1+2 t)] i+y j
A respeito deste escoamento responda ao que se pede:
a) Determinar, explicando, a dimensão e o regime de escoamento.
b) Determinar a expressão do vetor aceleração, distinguindo a aceleração local e a convectiva.
c) Encontrar a equação geral das linhas de corrente variáveis no tempo que passam todas através do ponto ( \mathrm{x}_{\mathrm{o}}, \mathrm{y}_{\mathrm{o}} ) em algum tempo t .
Resp.: a) Escoamento bidimensional e transiente. b) a=(2 x) i( local )+\left\{x(1+2 t)^{2} i+y j\right\} (convectiva).

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade no plano como
\mathbf{V}(x,y,t)=\bigl(x(1+2t)\bigr)\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}.
As perguntas são:
  • (a) Determinar (explicando) a dimensão do escoamento e o regime (steady/transiente).
  • (b) Determinar a expressão do vetor aceleração, distinguindo a aceleração local (temporal) e a aceleração convectiva (espacial).
  • (c) Encontrar a equação geral das linhas de corrente instantâneas (linhas de corrente no tempo t) que passam pelo ponto (x_0,y_0) nesse mesmo tempo t.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicado de modo prático):
  • A aceleração total de uma partícula do fluido em um escoamento é
\mathbf{a}=\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}+(\mathbf{V}\cdot\nabla)\mathbf{V},
onde
  • \dfrac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} é a aceleração local (variação do campo de velocidade no tempo num ponto fixo do espaço);
  • (\mathbf{V}\cdot\nabla)\mathbf{V} é a aceleração convectiva (variação espacial do campo ao longo do movimento da partícula).
  • Para um campo bidimensional com \mathbf{V}=(u(x,y,t),v(x,y,t)),
(\mathbf{V}\cdot\nabla)\mathbf{V}=u\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial x}+v\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial y}.
Vou aplicar essas fórmulas ao campo dado. Antes, pequenas definições de notação que usarei:
  • u(x,y,t)=x(1+2t) é a componente na direção \mathbf{i}.
  • v(x,y,t)=y é a componente na direção \mathbf{j}.

Passo 3

Cálculo da aceleração local \dfrac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}:
  • Diferenciando u em relação a t mantendo x,y fixos:
\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}\bigl(x(1+2t)\bigr)=x\cdot 2=2x.
  • Diferenciando v em relação a t:
\frac{\partial v}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}(y)=0,
porque y não depende de t.
Portanto a aceleração local é
\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}=(2x)\,\mathbf{i}+0\,\mathbf{j}=(2x)\,\mathbf{i}.

Passo 4

Cálculo da aceleração convectiva (\mathbf{V}\cdot\nabla)\mathbf{V}:
  • Primeiro as derivadas espaciais de \mathbf{V}: \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}\,\mathbf{i}+\frac{\partial v}{\partial x}\,\mathbf{j}=(1+2t)\,\mathbf{i}+0\,\mathbf{j},
\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}\,\mathbf{i}+\frac{\partial v}{\partial y}\,\mathbf{j}=0\,\mathbf{i}+1\,\mathbf{j}.
  • Agora (\mathbf{V}\cdot\nabla)\mathbf{V}=u\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial x}+v\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial y}.Substituindo u=x(1+2t) e v=y: (\mathbf{V}\cdot\nabla)\mathbf{V}=x(1+2t)\bigl((1+2t)\,\mathbf{i}\bigr)+y\bigl(1\,\mathbf{j}\bigr).Simplificando: (\mathbf{V}\cdot\nabla)\mathbf{V}=x(1+2t)^{2}\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}.

Passo 5

A aceleração total \mathbf{a} é a soma das partes local e convectiva:
\mathbf{a}=\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}+(\mathbf{V}\cdot\nabla)\mathbf{V}=(2x)\,\mathbf{i}+\bigl(x(1+2t)^{2}\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}\bigr).
Juntando componentes na direção \mathbf{i}:
\mathbf{a}=\bigl(2x+x(1+2t)^{2}\bigr)\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}.
Aqui ficou claramente explícito qual é a parte local (2x)\,\mathbf{i} e qual é a parte convectiva x(1+2t)^{2}\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}.

Passo 6

Resposta à parte (a) — dimensão e regime, com explicação didática:
  • Dimensão: o campo tem apenas componentes em \mathbf{i} e \mathbf{j} e depende das variáveis x e y. Logo é um escoamento bidimensional.
  • Regime (steady/transiente): um escoamento é steady (estacionário) se \dfrac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}=0. Aqui \dfrac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}=(2x)\,\mathbf{i}\neq\mathbf{0} em geral, porque há dependência explícita em t via u=x(1+2t). Portanto o escoamento é transiente (não estacionário).
Observação curta sobre compressibilidade (apenas para intuição): a divergência é \nabla\cdot\mathbf{V}=\partial u/\partial x+\partial v/\partial y=(1+2t)+1=2+2t, não nula; assim o campo não é incompressível (mas isso não foi pedido).

Passo 7

Cálculo das linhas de corrente instantâneas (linhas de velocidade no tempo t) que passam por (x_0,y_0) no mesmo instante t:
Definição prática: para um tempo fixo t a equação diferencial das linhas de corrente é
\frac{dy}{dx}=\frac{v(x,y,t)}{u(x,y,t)}=\frac{y}{x(1+2t)}.
Trate t como parâmetro constante e resolva a ODE por separação de variáveis:
\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x(1+2t)}.
Integrando:
\ln|y|=\frac{1}{1+2t}\ln|x|+C,
onde C é constante (que pode depender de t porque trabalhamos no instante t). Exponenciando,
|y|=C'|x|^{1/(1+2t)}.
Escrevendo sem as barras (assumindo escolha de sinal consistente) e impondo que a linha passe por (x_0,y_0) no mesmo t, obtemos a constante
C'=\frac{y_0}{x_0^{1/(1+2t)}}\quad\text{(para }x_0\neq 0\text{)}.
Assim a equação da linha de corrente no tempo t é
y=y_0\left(\frac{x}{x_0}\right)^{1/(1+2t)},\qquad (x_0\neq 0).
Casos especiais rápidos:
  • Se x_0=0 e y_0\neq 0, então u(0,y,t)=0 e v(0,y,t)=y\neq 0, ou seja a velocidade naquele ponto é puramente vertical; a linha de corrente é a reta vertical x=0 (no instante considerado).
  • Se y_0=0 então a solução geral fornece y\equiv 0 (o eixo x é linha de corrente naquele instante).

Resposta

(a) Escoamento bidimensional e transiente.
(b) Aceleração local: \dfrac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}=(2x)\,\mathbf{i}.
Aceleração convectiva: (\mathbf{V}\cdot\nabla)\mathbf{V}=x(1+2t)^{2}\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}.
Aceleração total: \mathbf{a}=\bigl(2x+x(1+2t)^{2}\bigr)\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}.
(c) Linhas de corrente no instante t passando por (x_0,y_0) (para x_0\neq 0):
y=y_0\left(\dfrac{x}{x_0}\right)^{1/(1+2t)}.

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