Questão 3.13 A equação geral de um campo de velocidade é dada por:
A respeito deste escoamento responda ao que se pede:
a) Determinar, explicando, a dimensão e o regime de escoamento.
b) Determinar a expressão do vetor aceleração, distinguindo a aceleração local e a convectiva.
c) Encontrar a equação geral das linhas de corrente variáveis no tempo que passam todas através do ponto (
) em algum tempo t .
Resp.: a) Escoamento bidimensional e transiente. b)
local
(convectiva).
a) Determinar, explicando, a dimensão e o regime de escoamento.
b) Determinar a expressão do vetor aceleração, distinguindo a aceleração local e a convectiva.
c) Encontrar a equação geral das linhas de corrente variáveis no tempo que passam todas através do ponto (
Resp.: a) Escoamento bidimensional e transiente. b)
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidade no plano como
As perguntas são:
- (a) Determinar (explicando) a dimensão do escoamento e o regime (steady/transiente).
- (b) Determinar a expressão do vetor aceleração, distinguindo a aceleração local (temporal) e a aceleração convectiva (espacial).
- (c) Encontrar a equação geral das linhas de corrente instantâneas (linhas de corrente no tempo
) que passam pelo ponto nesse mesmo tempo .
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicado de modo prático):
- A aceleração total de uma partícula do fluido em um escoamento é
onde
-
é a aceleração local (variação do campo de velocidade no tempo num ponto fixo do espaço); -
é a aceleração convectiva (variação espacial do campo ao longo do movimento da partícula). - Para um campo bidimensional com
,
Vou aplicar essas fórmulas ao campo dado. Antes, pequenas definições de notação que usarei:
-
é a componente na direção . -
é a componente na direção .
Passo 3
Cálculo da aceleração local
:
- Diferenciando
em relação a mantendo fixos:
- Diferenciando
em relação a :
porque
não depende de
.
Portanto a aceleração local é
Portanto a aceleração local é
Passo 4
Cálculo da aceleração convectiva
:
- Primeiro as derivadas espaciais de
:
- Agora
Substituindo e : Simplificando:
Passo 5
A aceleração total
é a soma das partes local e convectiva:
Juntando componentes na direção
:
Aqui ficou claramente explícito qual é a parte local
e qual é a parte convectiva
.
Passo 6
Resposta à parte (a) — dimensão e regime, com explicação didática:
- Dimensão: o campo tem apenas componentes em
e e depende das variáveis e . Logo é um escoamento bidimensional. - Regime (steady/transiente): um escoamento é steady (estacionário) se
. Aqui em geral, porque há dependência explícita em via . Portanto o escoamento é transiente (não estacionário).
Observação curta sobre compressibilidade (apenas para intuição): a divergência é
, não nula; assim o campo não é incompressível (mas isso não foi pedido).
Passo 7
Cálculo das linhas de corrente instantâneas (linhas de velocidade no tempo
) que passam por
no mesmo instante
:
Definição prática: para um tempo fixo
a equação diferencial das linhas de corrente é
Trate
como parâmetro constante e resolva a ODE por separação de variáveis:
Integrando:
onde
é constante (que pode depender de
porque trabalhamos no instante
). Exponenciando,
Escrevendo sem as barras (assumindo escolha de sinal consistente) e impondo que a linha passe por
no mesmo
, obtemos a constante
Assim a equação da linha de corrente no tempo
é
Casos especiais rápidos:
- Se
e , então e , ou seja a velocidade naquele ponto é puramente vertical; a linha de corrente é a reta vertical (no instante considerado). - Se
então a solução geral fornece (o eixo é linha de corrente naquele instante).
Resposta
(a) Escoamento bidimensional e transiente.
(b) Aceleração local:
.
Aceleração convectiva: .
Aceleração total: .
Aceleração convectiva:
Aceleração total:
(c) Linhas de corrente no instante
passando por
(para
):