Questão 14

Uma professora pediu a cada estudante que levasse régua, fita métrica e uma grande cartolina branca para a sala de aula na aula seguinte, para a realização de uma atividade. No dia marcado, ela deu as seguintes orientações, a que os estudantes deveriam atender.
  1. Desenhe um segmento de reta com mais de 1 metro de comprimento.
  2. Marque, no segmento de reta, a lápis, um ponto indicado com o número 0 e outro ponto, indicado com o número 1, a exatamente 1 metro de distância do primeiro.
  3. Utilizando sempre a escala métrica, marque, no segmento de reta, entre os números 0 e 1 , todos os números decimais exatos com exatamente uma casa decimal.
  4. Depois, marque todos os números decimais exatos com exatamente duas casas decimais.
Em seguida, em um experimento mental, a professora pediu aos estudantes que fechassem seus olhos e se imaginassem marcando, sucessivamente, todos os números decimais exatos com exatamente 3 casas decimais, depois exatamente 4, e assim por diante, indefinidamente.
Considerando um estudante que tenha executado com perfeição todos os comandos dados e desconsiderando eventuais dificuldades práticas quanto à espessura da ponta do lápis, assinale a opção correta acerca da atividade desenvolvida pela professora.
(A) O número 0,123456789999 … não será marcado, mesmo após concluída a fase imaginativa da atividade.
(B) Se um ponto A do segmento de reta for escolhido ao acaso entre os números zero e um, necessariamente haverá, a uma distância inferior a 1 / 10^{10} metros do ponto A , um dos pontos que teriam sido marcados na fase imaginativa da atividade proposta pela professora.
© Alguns números irracionais serão marcados em alguma das iterações da fase imaginativa da atividade.
(D Cada número racional terá sido marcado após alguma das iterações da fase imaginativa da atividade.
(E) Após concluída a fase imaginativa da atividade, a reta ficaria completamente preenchida pelos números marcados, não sobrando nenhum ponto da reta não associado a algum dos números marcados.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede, sem resolver nada ainda.
  • O estudante desenha um segmento de comprimento maior que \,1 metro e marca dois pontos especiais: o ponto 0 e o ponto 1 separados por exatamente \,1 metro.
  • Segue-se uma sequência de marcações no segmento entre 0 e 1:
    1. Marcam-se todos os números decimais exatos com exatamente uma casa decimal.
    2. Depois marcam-se todos os números decimais exatos com exatamente duas casas decimais.
    3. Em seguida, de forma imaginativa, marca-se sucessivamente todos os números decimais exatos com exatamente três casas decimais, depois com exatamente quatro casas decimais, e assim por diante, indefinidamente (ou seja, para todo k\in\mathbb{N} marcam-se todos os decimais exatos com exatamente k casas).
  • As alternativas a avaliar são (A) a (E) — uma delas é a correta sobre o que acontece depois de todas essas fases.
Informações úteis que eu tenho (retirei do enunciado):
  • Os números marcados em algum estágio são exatamente os números da forma \dfrac{m}{10^{k}} para algum inteiro m com 0\le m\le 10^{k} (ou seja, os decimais que terminam após k casas), variando k=1,2,3,\dots.
  • A fase imaginativa faz isso para todos os k naturais, sem limite superior.

Passo 2

Entender o conjunto de todos os pontos que serão marcados: formalização e exemplos.
  • Definição concreta: para cada k\in\mathbb{N} (onde aqui \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}) a etapa k marca todos os números
\frac{m}{10^{k}}\quad\text{com } m\in\{0,1,2,\dots,10^{k}\}.
  • A união para todos os k é o conjunto
S=\bigcup_{k=1}^{\infty}\left\{\frac{m}{10^{k}}: m\in\{0,\dots,10^{k}\}\right\}.
  • Observação simples e importante: todo elemento de S é um número racional com denominador que divide alguma potência de 10. Em particular, elementos de S são números com representação decimal finita (também chamados de decimais terminantes).
Exemplos para fixar a ideia:
  • Para k=1 temos \{0,\tfrac{1}{10},\tfrac{2}{10},\dots,\tfrac{9}{10},1\}.
  • Para k=2 aparecem \tfrac{0}{100},\tfrac{1}{100},\dots,\tfrac{99}{100},\tfrac{100}{100}.
  • Para k=8 há números como \tfrac{12345679}{10^{8}}=0{,}12345679 (só um exemplo).

Passo 3

Analisar a alternativa (A): o número \,0{,}123456789999\ldots será marcado ou não?
  • Primeiro, lembrar um fato-padrão sobre decimais: 0{,}x9999\ldots (com infinitos noves a partir de alguma posição) é igual a um decimal terminante obtido incrementando o último dígito antes da sequência de noves e colocando zeros depois (com tratamento de “vai-um” quando necessário). Vamos demonstrar isso no caso concreto.
  • Defina
x = 0{,}123456789999\ldots.
Note que a partir da 9ª casa decimal todos os dígitos são 9. Multiplicando por 10^{8} (deslocando a vírgula 8 casas) obtemos
10^{8}x = 12\,345\,678{,}9999\ldots.
Mas sabe-se que 0{,}9999\ldots = 1. Logo
12\,345\,678{,}9999\ldots = 12\,345\,679.
Assim
10^{8}x = 12\,345\,679 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{12\,345\,679}{10^{8}} = 0{,}12345679.
  • Conclusão: o número 0{,}123456789999\ldots é exatamente igual ao decimal terminante 0{,}12345679, que tem exatamente 8 casas decimais. Portanto ele será marcado na etapa correspondente a k=8. A alternativa (A) afirma que ele “não será marcado” — por isso (A) é falsa.

Passo 4

Mostrar que irracionais nunca serão marcados (avaliar (C) e parte de (E)).
  • Propriedade: todo número marcado pertence a S, e todo elemento de S é racional (é da forma \dfrac{m}{10^{k}} com inteiros m,k). Portanto nenhum número irracional pode estar em S.
  • Consequência: nenhuma iteração marcará um número irracional. Logo a alternativa (C) — “Alguns números irracionais serão marcados em alguma das iterações” — é falsa.
  • Isso já também impede que a reta fique “completamente preenchida” por marcações: há sempre pontos irracionais entre 0 e 1 que não foram marcados. Assim a alternativa (E) (“a reta ficaria completamente preenchida”) também é falsa.

Passo 5

Mostrar que nem todo racional é marcado (avaliar (D)).
  • Nem todo racional tem representação decimal terminante. Por exemplo, \dfrac{1}{3}=0{,}3333\ldots é decimal periódico infinito e não tem representação decimal finita. Portanto \dfrac{1}{3}\not\in S.
  • Logo a afirmação (D) — “Cada número racional terá sido marcado após alguma das iterações” — é falsa.

Passo 6

Provar que os pontos marcados são arbitrariamente próximos a qualquer ponto de [0,1]: propriedade de densidade (isso ataca diretamente a (B)).
  • Objetivo: mostrar que para todo a\in[0,1] e para toda \varepsilon>0 existe um ponto marcado s\in S com |a-s|<\varepsilon. Em particular, com \varepsilon=\dfrac{1}{10^{10}} haverá um ponto marcado a distância menor que \dfrac{1}{10^{10}}.
  • Prova direta e simples (método decimal / aproximação): escolha k\in\mathbb{N} tal que
\frac{1}{10^{k}}<\varepsilon.
(É sempre possível porque 1/10^{k}\to 0 quando k\to\infty.) Agora considere o número inteiro
m=\lfloor 10^{k}a\rfloor,
onde \lfloor\cdot\rfloor é a parte inteira (o maior inteiro \le argumento). Então m/10^{k}\in S (é um decimal com k casas) e
0\le 10^{k}a - m < 1 \quad\Rightarrow\quad 0\le a - \frac{m}{10^{k}} < \frac{1}{10^{k}}.
Portanto
\left| a - \frac{m}{10^{k}} \right| < \frac{1}{10^{k}} < \varepsilon.
  • Conclusão: para qualquer a e qualquer \varepsilon>0 existe um ponto marcado dentro de \varepsilon de a. Isso mostra que S é denso em [0,1].
Aplicação imediata: tomando \varepsilon=\dfrac{1}{10^{10}} garante-se que para qualquer ponto A\in[0,1] exista um ponto marcado a distância menor que \dfrac{1}{10^{10}}. Assim a alternativa (B) é verdadeira.

Passo 7

Resumindo as análises das alternativas e decisão final.
  • (A) falsa: o decimal com infinitos 9s como em 0{,}123456789999\ldots tem representação equivalente terminante e, portanto, será marcado.
  • (B) verdadeira: o conjunto de números marcados é denso em [0,1]; para \varepsilon=\dfrac{1}{10^{10}} sempre existe um marcado a distância menor que \varepsilon.
  • (C) falsa: irracionais não são marcados (são não-racionais).
  • (D) falsa: nem todo racional termina em decimal finito (ex.: \tfrac{1}{3} não é marcado).
  • (E) falsa: embora denso, o conjunto marcado não preenche todo o segmento (existem pontos irracionais não marcados).

Resposta

(B)

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