Uma professora pediu a cada estudante que levasse régua, fita métrica e uma grande cartolina branca para a sala de aula na aula seguinte, para a realização de uma atividade. No dia marcado, ela deu as seguintes orientações, a que os estudantes deveriam atender.
Desenhe um segmento de reta com mais de 1 metro de comprimento.
Marque, no segmento de reta, a lápis, um ponto indicado com o número 0 e outro ponto, indicado com o número 1, a exatamente 1 metro de distância do primeiro.
Utilizando sempre a escala métrica, marque, no segmento de reta, entre os números 0 e 1 , todos os números decimais exatos com exatamente uma casa decimal.
Depois, marque todos os números decimais exatos com exatamente duas casas decimais.
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede, sem resolver nada ainda.
O estudante desenha um segmento de comprimento maior que \,1 metro e marca dois pontos especiais: o ponto 0 e o ponto 1 separados por exatamente \,1 metro.
Segue-se uma sequência de marcações no segmento entre 0 e 1:
Marcam-se todos os números decimais exatos com exatamente uma casa decimal.
Depois marcam-se todos os números decimais exatos com exatamente duas casas decimais.
Em seguida, de forma imaginativa, marca-se sucessivamente todos os números decimais exatos com exatamente três casas decimais, depois com exatamente quatro casas decimais, e assim por diante, indefinidamente (ou seja, para todo k\in\mathbb{N} marcam-se todos os decimais exatos com exatamente k casas).
As alternativas a avaliar são (A) a (E) — uma delas é a correta sobre o que acontece depois de todas essas fases.
Informações úteis que eu tenho (retirei do enunciado):
Os números marcados em algum estágio são exatamente os números da forma \dfrac{m}{10^{k}} para algum inteiro m com 0\le m\le 10^{k} (ou seja, os decimais que terminam após k casas), variando k=1,2,3,\dots.
A fase imaginativa faz isso para todos os k naturais, sem limite superior.
Passo 2
Entender o conjunto de todos os pontos que serão marcados: formalização e exemplos.
Definição concreta: para cada k\in\mathbb{N} (onde aqui \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}) a etapa k marca todos os números
Observação simples e importante: todo elemento de S é um número racional com denominador que divide alguma potência de 10. Em particular, elementos de S são números com representação decimal finita (também chamados de decimais terminantes).
Exemplos para fixar a ideia:
Para k=1 temos \{0,\tfrac{1}{10},\tfrac{2}{10},\dots,\tfrac{9}{10},1\}.
Para k=2 aparecem \tfrac{0}{100},\tfrac{1}{100},\dots,\tfrac{99}{100},\tfrac{100}{100}.
Para k=8 há números como \tfrac{12345679}{10^{8}}=0{,}12345679 (só um exemplo).
Passo 3
Analisar a alternativa (A): o número \,0{,}123456789999\ldots será marcado ou não?
Primeiro, lembrar um fato-padrão sobre decimais: 0{,}x9999\ldots (com infinitos noves a partir de alguma posição) é igual a um decimal terminante obtido incrementando o último dígito antes da sequência de noves e colocando zeros depois (com tratamento de “vai-um” quando necessário). Vamos demonstrar isso no caso concreto.
Defina
x = 0{,}123456789999\ldots.
Note que a partir da 9ª casa decimal todos os dígitos são 9. Multiplicando por 10^{8} (deslocando a vírgula 8 casas) obtemos
10^{8}x = 12\,345\,678{,}9999\ldots.
Mas sabe-se que 0{,}9999\ldots = 1. Logo
12\,345\,678{,}9999\ldots = 12\,345\,679.
Assim
10^{8}x = 12\,345\,679 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{12\,345\,679}{10^{8}} = 0{,}12345679.
Conclusão: o número 0{,}123456789999\ldots é exatamente igual ao decimal terminante 0{,}12345679, que tem exatamente 8 casas decimais. Portanto ele será marcado na etapa correspondente a k=8. A alternativa (A) afirma que ele “não será marcado” — por isso (A) é falsa.
Passo 4
Mostrar que irracionais nunca serão marcados (avaliar (C) e parte de (E)).
Propriedade: todo número marcado pertence a S, e todo elemento de S é racional (é da forma \dfrac{m}{10^{k}} com inteiros m,k). Portanto nenhum número irracional pode estar em S.
Consequência: nenhuma iteração marcará um número irracional. Logo a alternativa (C) — “Alguns números irracionais serão marcados em alguma das iterações” — é falsa.
Isso já também impede que a reta fique “completamente preenchida” por marcações: há sempre pontos irracionais entre 0 e 1 que não foram marcados. Assim a alternativa (E) (“a reta ficaria completamente preenchida”) também é falsa.
Passo 5
Mostrar que nem todo racional é marcado (avaliar (D)).
Nem todo racional tem representação decimal terminante. Por exemplo, \dfrac{1}{3}=0{,}3333\ldots é decimal periódico infinito e não tem representação decimal finita. Portanto \dfrac{1}{3}\not\in S.
Logo a afirmação (D) — “Cada número racional terá sido marcado após alguma das iterações” — é falsa.
Passo 6
Provar que os pontos marcados são arbitrariamente próximos a qualquer ponto de [0,1]: propriedade de densidade (isso ataca diretamente a (B)).
Objetivo: mostrar que para todo a\in[0,1] e para toda \varepsilon>0 existe um ponto marcado s\in S com |a-s|<\varepsilon. Em particular, com \varepsilon=\dfrac{1}{10^{10}} haverá um ponto marcado a distância menor que \dfrac{1}{10^{10}}.
Prova direta e simples (método decimal / aproximação): escolha k\in\mathbb{N} tal que
\frac{1}{10^{k}}<\varepsilon.
(É sempre possível porque 1/10^{k}\to 0 quando k\to\infty.) Agora considere o número inteiro
m=\lfloor 10^{k}a\rfloor,
onde \lfloor\cdot\rfloor é a parte inteira (o maior inteiro \le argumento). Então m/10^{k}\in S (é um decimal com k casas) e
0\le 10^{k}a - m < 1 \quad\Rightarrow\quad 0\le a - \frac{m}{10^{k}} < \frac{1}{10^{k}}.
Portanto
\left| a - \frac{m}{10^{k}} \right| < \frac{1}{10^{k}} < \varepsilon.
Conclusão: para qualquer a e qualquer \varepsilon>0 existe um ponto marcado dentro de \varepsilon de a. Isso mostra que S é denso em [0,1].
Aplicação imediata: tomando \varepsilon=\dfrac{1}{10^{10}} garante-se que para qualquer ponto A\in[0,1] exista um ponto marcado a distância menor que \dfrac{1}{10^{10}}. Assim a alternativa (B) é verdadeira.
Passo 7
Resumindo as análises das alternativas e decisão final.
(A) falsa: o decimal com infinitos 9s como em 0{,}123456789999\ldots tem representação equivalente terminante e, portanto, será marcado.
(B) verdadeira: o conjunto de números marcados é denso em [0,1]; para \varepsilon=\dfrac{1}{10^{10}} sempre existe um marcado a distância menor que \varepsilon.
(C) falsa: irracionais não são marcados (são não-racionais).
(D) falsa: nem todo racional termina em decimal finito (ex.: \tfrac{1}{3} não é marcado).
(E) falsa: embora denso, o conjunto marcado não preenche todo o segmento (existem pontos irracionais não marcados).