Questão 14. Prove as seguintes propriedades envolvendo a diferença de conjuntos (incluindo as Leis de De Morgan). Sejam A, B, C, X conjuntos:
X \backslash(A \cup B)=(X \backslash A) \cap(X \backslash B).

Passo 1

O enunciado pede para provar a igualdade entre dois conjuntos:
X \setminus (A \cup B) = (X \setminus A)\cap (X \setminus B).
Os conjuntos dados são A, B e X. A tarefa é demonstrar a igualdade acima (ou seja, mostrar que cada lado está contido no outro).

Passo 2

Vou usar o método clássico de prova de igualdade de conjuntos: provar dupla inclusão. Ou seja, mostrar primeiro
X \setminus (A \cup B) \subseteq (X \setminus A)\cap (X \setminus B)
e depois
(X \setminus A)\cap (X \setminus B) \subseteq X \setminus (A \cup B).
Antes de começar, lembro a definição que vou usar (isso é importante para a prova passo a passo):
Y \setminus Z = \{x\in Y \mid x \notin Z\}.
Também uso a interpretação lógica da união e das negações: para um elemento x,
x\notin A\cup B \iff \neg (x\in A \lor x\in B).
E a lei de De Morgan lógica (que vou aplicar) diz:
\neg(P\lor Q)\iff (\neg P)\land(\neg Q).
Agora aplico tudo isso em elementos genéricos.

Passo 3

Provar X \setminus (A \cup B) \subseteq (X \setminus A)\cap (X \setminus B).
Seja x tal que
x\in X \setminus (A \cup B).
Pela definição de diferença de conjuntos isso significa que
x\in X \quad\text{e}\quad x\notin A\cup B.
Usando a equivalência lógica mencionada,
x\notin A\cup B \iff \neg(x\in A \lor x\in B) \iff (x\notin A)\land(x\notin B).
Então x\in X e x\notin A, e também x\in X e x\notin B. Ou seja,
x\in X\setminus A \quad\text{e}\quad x\in X\setminus B.
Portanto x\in (X\setminus A)\cap (X\setminus B). Como x foi um elemento arbitrário do lado esquerdo, concluímos a inclusão desejada:
X \setminus (A \cup B) \subseteq (X \setminus A)\cap (X \setminus B).

Passo 4

Provar (X \setminus A)\cap (X \setminus B) \subseteq X \setminus (A \cup B).
Seja x tal que
x\in (X \setminus A)\cap (X \setminus B).
Pela definição de interseção e diferença, isso significa que
x\in X\setminus A \quad\text{e}\quad x\in X\setminus B.
Logo
x\in X,\quad x\notin A,\quad\text{e}\quad x\notin B.
Das últimas duas propriedades segue que x não pertence nem a A nem a B, isto é,
(x\notin A)\land(x\notin B).
Pela lei de De Morgan lógica isso é equivalente a
\neg(x\in A \lor x\in B) \iff x\notin A\cup B.
Portanto x\in X e x\notin A\cup B, o que, pela definição, significa x\in X\setminus (A\cup B). Como x foi arbitrário, obtemos a segunda inclusão:
(X \setminus A)\cap (X \setminus B) \subseteq X \setminus (A \cup B).

Passo 5

Conclusão final: pelas inclusões das Passo 3 e Passo 4 temos inclusão em ambos os sentidos, logo igualdade de conjuntos. Uma forma alternativa e curta (a mesma ideia, só escrita de outro jeito) é observar que X\setminus A = X\cap A^{c} (complemento relativo) e aplicar a Lei de De Morgan para conjuntos:
X\setminus (A\cup B)=X\cap (A\cup B)^{c}=X\cap (A^{c}\cap B^{c})=(X\cap A^{c})\cap (X\cap B^{c})=(X\setminus A)\cap (X\setminus B).
Mas a prova por elementos (dupla inclusão) que fiz acima é a forma mais direta em prova de prova-exame.

Resposta

X \setminus (A \cup B) = (X \setminus A)\cap (X \setminus B).

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