Questão 14. Prove as seguintes propriedades envolvendo a diferença de conjuntos (incluindo as Leis de De Morgan). Sejam
conjuntos:
.
Passo 1
O enunciado pede para provar a igualdade entre dois conjuntos:
Os conjuntos dados são
,
e
. A tarefa é demonstrar a igualdade acima (ou seja, mostrar que cada lado está contido no outro).
Passo 2
Vou usar o método clássico de prova de igualdade de conjuntos: provar dupla inclusão. Ou seja, mostrar primeiro
e depois
Antes de começar, lembro a definição que vou usar (isso é importante para a prova passo a passo):
Também uso a interpretação lógica da união e das negações: para um elemento
,
E a lei de De Morgan lógica (que vou aplicar) diz:
Agora aplico tudo isso em elementos genéricos.
Passo 3
Provar
.
Seja
tal que
Pela definição de diferença de conjuntos isso significa que
Usando a equivalência lógica mencionada,
Então
e
, e também
e
. Ou seja,
Portanto
. Como
foi um elemento arbitrário do lado esquerdo, concluímos a inclusão desejada:
Passo 4
Provar
.
Seja
tal que
Pela definição de interseção e diferença, isso significa que
Logo
Das últimas duas propriedades segue que
não pertence nem a
nem a
, isto é,
Pela lei de De Morgan lógica isso é equivalente a
Portanto
e
, o que, pela definição, significa
. Como
foi arbitrário, obtemos a segunda inclusão:
Passo 5
Conclusão final: pelas inclusões das Passo 3 e Passo 4 temos inclusão em ambos os sentidos, logo igualdade de conjuntos. Uma forma alternativa e curta (a mesma ideia, só escrita de outro jeito) é observar que
(complemento relativo) e aplicar a Lei de De Morgan para conjuntos:
Mas a prova por elementos (dupla inclusão) que fiz acima é a forma mais direta em prova de prova-exame.