Questão 14. Prove as seguintes propriedades envolvendo a diferença de conjuntos (incluindo as Leis de De Morgan). Sejam
conjuntos:
, e verifique que os três conjuntos à direita da igualdade são disjuntos dois a dois.
Passo 1
O enunciado dá dois conjuntos
e
(os outros nomes mencionados não são necessários aqui) e pede duas coisas:
- Provar a igualdade
- Verificar que os três conjuntos à direita são disjuntos dois a dois (ou seja, que as interseções entre quaisquer dois deles são vazias).
As informações relevantes: apenas que
e
são conjuntos quaisquer. A resolução seguirá mostrando inclusão dos lados e, em seguida, a disjunção.
Passo 2
Vamos lembrar definições básicas (essas são as ferramentas que usaremos; explico devagar porque sei que isso às vezes embaralha):
- União: para quaisquer conjuntos
, significa " ou " (ou ambos). - Interseção:
significa " e ". - Diferença:
significa " e ". - Conjuntos disjuntos: dois conjuntos
e são disjuntos se . Em termos de elementos, isso quer dizer que não existe tal que e .
Método que usaremos: prova por elemento (element-chasing). Ou seja, para mostrar igualdade de conjuntos
mostramos
-
(pega e mostra ), -
(pega e mostra ).
Passo 3
Provar
.
Seja
. Então, por definição de união, temos três possibilidades (essas três cobrem todos os casos porque a união é “ou”):
- Caso 1:
e . Então, por definição de diferença, . Logo pertence ao lado direito, pois é uma das partes do união. - Caso 2:
e . Então , então pertence ao lado direito. - Caso 3:
e . Então , e portanto pertence ao lado direito.
Em todos os casos
pertence a
. Assim
.
Passo 4
Provar
.
Seja
. Então
está em pelo menos uma das três partes. Verificamos cada caso:
- Se
, então (por definição de diferença), logo . - Se
, então , logo . - Se
, então (ou ), portanto .
Portanto qualquer elemento do lado direito pertence a
, e assim a inclusão desejada está provada.
Passo 5
Concluímos das inclusões dos Passos 3 e 4 que
Agora verificamos que as três partes do lado direito são disjuntas dois a dois (ou seja, as interseções entre pares são vazias).
-
.
Prova: suponha, por contradição, que exista
tal que
Então
e
. A primeira dá
e
. A segunda dá
e
. Isso é uma contradição (
e
ao mesmo tempo). Logo não existe tal
, então a interseção é vazia.
-
.
Prova: se
então
e
. Da primeira vem
; da segunda vem
. Contradição. Logo a interseção é vazia.
-
.
Prova: análoga ao item anterior. Se
estivesse nas duas, teria
(pela diferença) e
(pela interseção), contradição. Logo a interseção é vazia.
Portanto as três partes são disjuntas dois a dois.
Passo 6
Interpretação intuitiva (para fixar a ideia): a união
é particionada em três pedaços não sobrepostos: os elementos que só estão em
, os que só estão em
, e os que estão em ambos. Essa é exatamente a igualdade provada. Nada de mágico — só lógica direta com as definições.