Questão 14. Prove as seguintes propriedades envolvendo a diferença de conjuntos (incluindo as Leis de De Morgan). Sejam A, B, C, X conjuntos:
A \cup B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \cup(A \cap B), e verifique que os três conjuntos à direita da igualdade são disjuntos dois a dois.

Passo 1

O enunciado dá dois conjuntos A e B (os outros nomes mencionados não são necessários aqui) e pede duas coisas:
  • Provar a igualdade
A \cup B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \cup(A \cap B).
  • Verificar que os três conjuntos à direita são disjuntos dois a dois (ou seja, que as interseções entre quaisquer dois deles são vazias).
As informações relevantes: apenas que A e B são conjuntos quaisquer. A resolução seguirá mostrando inclusão dos lados e, em seguida, a disjunção.

Passo 2

Vamos lembrar definições básicas (essas são as ferramentas que usaremos; explico devagar porque sei que isso às vezes embaralha):
  • União: para quaisquer conjuntos U,V, x\in U\cup V significa " x\in U ou x\in V " (ou ambos).
  • Interseção: x\in U\cap V significa " x\in U e x\in V ".
  • Diferença: x\in U\backslash V significa " x\in U e x\notin V ".
  • Conjuntos disjuntos: dois conjuntos U e V são disjuntos se U\cap V=\varnothing. Em termos de elementos, isso quer dizer que não existe x tal que x\in U e x\in V.
Método que usaremos: prova por elemento (element-chasing). Ou seja, para mostrar igualdade de conjuntos S=T mostramos
  1. S\subseteq T (pega x\in S e mostra x\in T),
  2. T\subseteq S (pega x\in T e mostra x\in S).

Passo 3

Provar A\cup B \subseteq (A\backslash B)\cup(B\backslash A)\cup(A\cap B).
Seja x\in A\cup B. Então, por definição de união, temos três possibilidades (essas três cobrem todos os casos porque a união é “ou”):
  • Caso 1: x\in A e x\notin B. Então, por definição de diferença, x\in A\backslash B. Logo x pertence ao lado direito, pois A\backslash B é uma das partes do união.
  • Caso 2: x\notin A e x\in B. Então x\in B\backslash A, então x pertence ao lado direito.
  • Caso 3: x\in A e x\in B. Então x\in A\cap B, e portanto x pertence ao lado direito.
Em todos os casos x pertence a (A\backslash B)\cup(B\backslash A)\cup(A\cap B). Assim A\cup B \subseteq (A\backslash B)\cup(B\backslash A)\cup(A\cap B).

Passo 4

Provar (A\backslash B)\cup(B\backslash A)\cup(A\cap B)\subseteq A\cup B.
Seja x\in (A\backslash B)\cup(B\backslash A)\cup(A\cap B). Então x está em pelo menos uma das três partes. Verificamos cada caso:
  • Se x\in A\backslash B, então x\in A (por definição de diferença), logo x\in A\cup B.
  • Se x\in B\backslash A, então x\in B, logo x\in A\cup B.
  • Se x\in A\cap B, então x\in A (ou x\in B), portanto x\in A\cup B.
Portanto qualquer elemento do lado direito pertence a A\cup B, e assim a inclusão desejada está provada.

Passo 5

Concluímos das inclusões dos Passos 3 e 4 que
A \cup B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \cup(A \cap B).
Agora verificamos que as três partes do lado direito são disjuntas dois a dois (ou seja, as interseções entre pares são vazias).
  1. (A\backslash B)\cap(B\backslash A)=\varnothing.
Prova: suponha, por contradição, que exista x tal que
x\in (A\backslash B)\cap(B\backslash A).
Então x\in A\backslash B e x\in B\backslash A. A primeira dá x\in A e x\notin B. A segunda dá x\in B e x\notin A. Isso é uma contradição ( x\in A e x\notin A ao mesmo tempo). Logo não existe tal x, então a interseção é vazia.
  1. (A\backslash B)\cap(A\cap B)=\varnothing.
Prova: se x\in (A\backslash B)\cap(A\cap B) então x\in A\backslash B e x\in A\cap B. Da primeira vem x\notin B; da segunda vem x\in B. Contradição. Logo a interseção é vazia.
  1. (B\backslash A)\cap(A\cap B)=\varnothing.
Prova: análoga ao item anterior. Se x estivesse nas duas, teria x\notin A (pela diferença) e x\in A (pela interseção), contradição. Logo a interseção é vazia.
Portanto as três partes são disjuntas dois a dois.

Passo 6

Interpretação intuitiva (para fixar a ideia): a união A\cup B é particionada em três pedaços não sobrepostos: os elementos que só estão em A, os que só estão em B, e os que estão em ambos. Essa é exatamente a igualdade provada. Nada de mágico — só lógica direta com as definições.

Resposta

A \cup B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \cup(A \cap B)

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