Questão 14. Prove as seguintes propriedades envolvendo a diferença de conjuntos (incluindo as Leis de De Morgan). Sejam A, B, C, X conjuntos:
X \backslash(A \cap B)=(X \backslash A) \cup(X \backslash B).

Passo 1

O enunciado pede para provar a igualdade entre dois conjuntos:
X \backslash (A \cap B) = (X \backslash A) \cup (X \backslash B).
Informações dadas:
  • A,B,X são conjuntos arbitrários.
  • A operação \backslash significa diferença de conjuntos: X\backslash Y é o conjunto dos elementos que pertencem a X e não pertencem a Y.
    A tarefa é demonstrar que os dois lados da igualdade representam o mesmo conjunto.

Passo 2

Definição-chave que vamos usar (muito importante — decora ou entenda bem):
  • Para conjuntos U e V,
x \in U \backslash V \iff \bigl(x \in U \\ \text{e}\\ x \notin V\bigr).
Aqui o símbolo lógico “e” é \land e “ou” é \lor; o símbolo de negação é \lnot. Em palavras: um elemento está em U\backslash V exatamente quando ele está em U e não está em V.

Passo 3

Estratégia da prova (padrão para igualdades de conjuntos): provar inclusão dupla.
  1. Mostrar X \backslash (A \cap B) \subseteq (X \backslash A) \cup (X \backslash B).
  2. Mostrar (X \backslash A) \cup (X \backslash B) \subseteq X \backslash (A \cap B).
    Se ambas inclusões valerem, os conjuntos são iguais.

Passo 4

Prova da primeira inclusão:
Provar X \backslash (A \cap B) \subseteq (X \backslash A) \cup (X \backslash B).
Seja x um elemento arbitrário tal que
x \in X \backslash (A \cap B).
Pelo passo 2, isso significa
x \in X \quad\text{e}\quad x \notin (A \cap B).
A condição x \notin (A \cap B) é a negação da afirmação " x\in A e x\in B". Usamos a lei lógica de De Morgan para proposições: para proposições P e Q,
\lnot (P \land Q) \iff (\lnot P) \lor (\lnot Q).
Justificação curta dessa lei (intuição): se não é verdade que P e Q são ambos verdadeiros, então pelo menos um deles é falso. Aplicando isso ao nosso caso com P = “ x\in A” e Q = “ x\in B”, obtemos
x \notin (A \cap B) \iff \bigl(x \notin A\bigr) \lor \bigl(x \notin B\bigr).
Combinações com o fato x\in X dão duas possibilidades:
  • Se x \notin A, então x \in X e x \notin A, ou seja x \in X \backslash A.
  • Se x \notin B, então x \in X e x \notin B, ou seja x \in X \backslash B.
Como pelo menos uma dessas opções vale, concluímos que
x \in (X \backslash A) \cup (X \backslash B).
Como x foi tomado arbitrariamente, fica provada a inclusão
X \backslash (A \cap B) \subseteq (X \backslash A) \cup (X \backslash B).

Passo 5

Prova da segunda inclusão:
Provar (X \backslash A) \cup (X \backslash B) \subseteq X \backslash (A \cap B).
Seja x tal que
x \in (X \backslash A) \cup (X \backslash B).
Pelo significado de união, temos dois casos (disjunção):
  • Caso 1: x \in X \backslash A. Então x \in X e x \notin A. Se x\notin A então não é verdade que x\in A e x\in B simultaneamente; logo x \notin (A\cap B). Com x\in X temos x \in X \backslash (A\cap B).
  • Caso 2: x \in X \backslash B. Análogo: x\in X e x\notin B. Assim x\notin (A\cap B) e então x\in X\backslash(A\cap B).
Em ambos os casos x\in X\backslash(A\cap B). Como x era arbitrário, segue
(X \backslash A) \cup (X \backslash B) \subseteq X \backslash (A \cap B).

Passo 6

Concluindo: das inclusões provadas nos passos 4 e 5 temos igualdade:
X \backslash (A \cap B) = (X \backslash A) \cup (X \backslash B).
Essa é exatamente a forma da Lei de De Morgan para diferença relativa ao conjunto X.

Resposta

X \backslash (A \cap B) = (X \backslash A) \cup (X \backslash B).

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