Questão 14. Prove as seguintes propriedades envolvendo a diferença de conjuntos (incluindo as Leis de De Morgan). Sejam
conjuntos:
.
Passo 1
O enunciado pede para provar a igualdade entre dois conjuntos:
Informações dadas:
-
são conjuntos arbitrários. - A operação
significa diferença de conjuntos: é o conjunto dos elementos que pertencem a e não pertencem a .
A tarefa é demonstrar que os dois lados da igualdade representam o mesmo conjunto.
Passo 2
Definição-chave que vamos usar (muito importante — decora ou entenda bem):
- Para conjuntos
e ,
Aqui o símbolo lógico “e” é
e “ou” é
; o símbolo de negação é
. Em palavras: um elemento está em
exatamente quando ele está em
e não está em
.
Passo 3
Estratégia da prova (padrão para igualdades de conjuntos): provar inclusão dupla.
- Mostrar
. - Mostrar
.
Se ambas inclusões valerem, os conjuntos são iguais.
Passo 4
Prova da primeira inclusão:
Provar .
Provar
Seja
um elemento arbitrário tal que
Pelo passo 2, isso significa
A condição
é a negação da afirmação "
e
". Usamos a lei lógica de De Morgan para proposições: para proposições
e
,
Justificação curta dessa lei (intuição): se não é verdade que
e
são ambos verdadeiros, então pelo menos um deles é falso. Aplicando isso ao nosso caso com
= “
” e
= “
”, obtemos
Combinações com o fato
dão duas possibilidades:
- Se
, então e , ou seja . - Se
, então e , ou seja .
Como pelo menos uma dessas opções vale, concluímos que
Como
foi tomado arbitrariamente, fica provada a inclusão
Passo 5
Prova da segunda inclusão:
Provar .
Provar
Seja
tal que
Pelo significado de união, temos dois casos (disjunção):
- Caso 1:
. Então e . Se então não é verdade que e simultaneamente; logo . Com temos . - Caso 2:
. Análogo: e . Assim e então .
Em ambos os casos
. Como
era arbitrário, segue
Passo 6
Concluindo: das inclusões provadas nos passos 4 e 5 temos igualdade:
Essa é exatamente a forma da Lei de De Morgan para diferença relativa ao conjunto
.