Questão 14. Prove as seguintes propriedades envolvendo a diferença de conjuntos (incluindo as Leis de De Morgan). Sejam A, B, C, X conjuntos:
(A \backslash B) \cap B=\emptyset.

Passo 1

O enunciado nos dá conjuntos A,B,C,X (apenas para indicar que existem conjuntos) e pede para provar a identidade
(A \backslash B) \cap B = \emptyset.
Ou seja: mostrar que o conjunto formado pela interseção entre A\backslash B e B é o conjunto vazio. Vou trabalhar mostrando que não existe nenhum elemento que pertença a (A\backslash B)\cap B.

Passo 2

Recordando definições importantes (isso é só a matéria que vamos usar; nada complicado):
  • A diferença de conjuntos A \backslash B é o conjunto dos elementos que estão em A e não estão em B. Em símbolos:
x\in A \backslash B \iff \bigl(x\in A \bigr)\\ \wedge\\ \bigl(x\notin B\bigr).
  • A interseção U\cap V é o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a U e a V. Em símbolos:
x\in U\cap V \iff \bigl(x\in U\bigr)\\ \wedge\\ \bigl(x\in V\bigr).
  • O conjunto vazio \emptyset é o conjunto que não tem elementos, isto é,
\forall x,\\ x\notin\emptyset.

Passo 3

Escolha do método de prova: vamos usar uma prova por contradição baseada em “element-chasing” (seguindo a definição de pertencimento). Esse é o jeito mais direto aqui: assumir que existe um elemento em (A\backslash B)\cap B e mostrar que isso leva a uma contradição lógica.

Passo 4

Suponha, por contradição, que exista um elemento x tal que
x\in (A\backslash B)\cap B.
Pelo significado de interseção, isso implica
x\in A\backslash B \quad\text{e}\quad x\in B.
Pelo significado de diferença, x\in A\backslash B implica
x\in A \quad\text{e}\quad x\notin B.
Portanto, a suposição nos dá simultaneamente x\in B e x\notin B. Isso é uma contradição lógica (um elemento não pode estar e não estar em B ao mesmo tempo).

Passo 5

Como a suposição de que existe um x\in (A\backslash B)\cap B levou a uma contradição, concluímos que não existe tal x. Logo não há elementos em (A\backslash B)\cap B. Pelo que definimos para o conjunto vazio, isso significa que
(A\backslash B)\cap B=\emptyset.

Resposta

\emptyset

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