Questão 14. Prove as seguintes propriedades envolvendo a diferença de conjuntos (incluindo as Leis de De Morgan). Sejam
conjuntos:
.
Passo 1
O enunciado nos dá conjuntos
(apenas para indicar que existem conjuntos) e pede para provar a identidade
Ou seja: mostrar que o conjunto formado pela interseção entre
e
é o conjunto vazio. Vou trabalhar mostrando que não existe nenhum elemento que pertença a
.
Passo 2
Recordando definições importantes (isso é só a matéria que vamos usar; nada complicado):
- A diferença de conjuntos
é o conjunto dos elementos que estão em e não estão em . Em símbolos:
- A interseção
é o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a e a . Em símbolos:
- O conjunto vazio
é o conjunto que não tem elementos, isto é,
Passo 3
Escolha do método de prova: vamos usar uma prova por contradição baseada em “element-chasing” (seguindo a definição de pertencimento). Esse é o jeito mais direto aqui: assumir que existe um elemento em
e mostrar que isso leva a uma contradição lógica.
Passo 4
Suponha, por contradição, que exista um elemento
tal que
Pelo significado de interseção, isso implica
Pelo significado de diferença,
implica
Portanto, a suposição nos dá simultaneamente
e
. Isso é uma contradição lógica (um elemento não pode estar e não estar em
ao mesmo tempo).
Passo 5
Como a suposição de que existe um
levou a uma contradição, concluímos que não existe tal
. Logo não há elementos em
. Pelo que definimos para o conjunto vazio, isso significa que