Questão 16. Sejam f: X \rightarrow Y e g: Y \rightarrow Z duas funções.
Prove que se f e g são injetoras, então a composição g \circ f é injetora.

Passo 1

O enunciado nos dá claramente:
  • Duas funções \,f: X \to Y\, e \,g: Y \to Z\,.
  • A hipótese: f e g são injetoras.
    O que é pedido:
  • Mostrar que a composição \,g\circ f: X \to Z\, também é injetora.

Passo 2

Antes de provar, vamos revisar direitinho o que significa “injetora” (isso é essencial para saber o que provar).
  • Definição (formal): uma função \,h: A \to B\, é injetora se, para quaisquer a_1,a_2\in A,
h(a_1)=h(a_2)\quad\Longrightarrow\quad a_1=a_2.
Isto é, valores iguais na imagem só acontecem quando os argumentos na origem são iguais — nenhum par diferente de elementos do domínio é enviado para o mesmo elemento do contradomínio.
  • Intuição simples: pense numa máquina que transforma rótulos; injetora significa que duas entradas diferentes nunca saem com o mesmo rótulo.

Passo 3

Escolhendo o método: o jeito mais direto e natural aqui é uma prova direta usando a definição de injetividade. Ou seja, pego dois elementos arbitrários x_1,x_2\in X e suponho que (g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2); a partir disso mostro que x_1=x_2. Isso usa imediatamente as hipóteses de injetividade de g e f em cadeia — é simples, curto e adequado para prova em prova/exame.

Passo 4

Começo a prova direta. Seja x_1,x_2\in X tais que
(g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2).
Pela definição de composição de funções, isso equivale a
g\bigl(f(x_1)\bigr)=g\bigl(f(x_2)\bigr).

Passo 5

Agora aplico a hipótese de que g é injetora. Pela definição de injetividade (substituindo h por g, e a_1,a_2 por f(x_1),f(x_2)), da igualdade
g\bigl(f(x_1)\bigr)=g\bigl(f(x_2)\bigr)
segue que
f(x_1)=f(x_2).
Em palavras: como g não pode identificar dois elementos distintos de Y, os dois argumentos de g têm de ser o mesmo elemento de Y.

Passo 6

Agora uso a hipótese de que f é injetora. Aplicando a definição de injetividade a f (com a_1=x_1 e a_2=x_2), da igualdade
f(x_1)=f(x_2)
segue que
x_1=x_2.
Portanto, qualquer vez que (g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2) ocorre, obrigatoriamente x_1=x_2.

Passo 7

Concluímos, pela definição de injetividade, que a composição \,g\circ f\, é injetora: para quaisquer x_1,x_2\in X, a igualdade (g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2) implica x_1=x_2.

Resposta

A composição g\circ f é injetora.

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