Questão 16. Sejam
e
duas funções.
Prove que se
e
são injetoras, então a composição
é injetora.
Prove que se
Passo 1
O enunciado nos dá claramente:
- Duas funções
e . - A hipótese:
e são injetoras.
O que é pedido: - Mostrar que a composição
também é injetora.
Passo 2
Antes de provar, vamos revisar direitinho o que significa “injetora” (isso é essencial para saber o que provar).
- Definição (formal): uma função
é injetora se, para quaisquer ,
Isto é, valores iguais na imagem só acontecem quando os argumentos na origem são iguais — nenhum par diferente de elementos do domínio é enviado para o mesmo elemento do contradomínio.
- Intuição simples: pense numa máquina que transforma rótulos; injetora significa que duas entradas diferentes nunca saem com o mesmo rótulo.
Passo 3
Escolhendo o método: o jeito mais direto e natural aqui é uma prova direta usando a definição de injetividade. Ou seja, pego dois elementos arbitrários
e suponho que
; a partir disso mostro que
. Isso usa imediatamente as hipóteses de injetividade de
e
em cadeia — é simples, curto e adequado para prova em prova/exame.
Passo 4
Começo a prova direta. Seja
tais que
Pela definição de composição de funções, isso equivale a
Passo 5
Agora aplico a hipótese de que
é injetora. Pela definição de injetividade (substituindo
por
, e
por
), da igualdade
segue que
Em palavras: como
não pode identificar dois elementos distintos de
, os dois argumentos de
têm de ser o mesmo elemento de
.
Passo 6
Agora uso a hipótese de que
é injetora. Aplicando a definição de injetividade a
(com
e
), da igualdade
segue que
Portanto, qualquer vez que
ocorre, obrigatoriamente
.
Passo 7
Concluímos, pela definição de injetividade, que a composição
é injetora: para quaisquer
, a igualdade
implica
.
Resposta
A composição
é injetora.