Questão 4: (14 Pts) Mostre que para todos os valores reais de x :
Passo 1
O enunciado nos pede para mostrar que a série infinita
é igual a
O conteúdo principal aqui é o de séries geométricas infinitas e a condição de convergência
.
Passo 2
Vamos chamar a soma dessa série de
. Note que os coeficientes formam a sequência
e os termos são potências de
. Assim,
Passo 3
Fatorando
do somatório, obtemos
onde fizemos
.
Passo 4
Reconhecemos uma série geométrica de razão
Como
, segue
, ou seja, a série converge. A soma da série geométrica
é
Passo 5
Aplicando a fórmula, ficamos com