Questão 4: (14 Pts) Mostre que para todos os valores reais de x :
sen x-12 sen^2 x+14 sen^3 x-18 sen^4 x+cdots=2 sen x2+sen x

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que a série infinita
senx-tfrac12sen^2x+tfrac14sen^3x-tfrac18sen^4x+cdots
é igual a
2,senx2+senx
O conteúdo principal aqui é o de séries geométricas infinitas e a condição de convergência lvert rrvert<1.

Passo 2

Vamos chamar a soma dessa série de S. Note que os coeficientes formam a sequência
1,; -tfrac12,; tfrac14,; -tfrac18,;dots
e os termos são potências de senx. Assim,
S = sumn=1^infty l[(-1)^,n-1,tfrac12^,n-1r];sen^n x

Passo 3

Fatorando senx do somatório, obtemos
S = senx sumn=1^infty l[(-1)^,n-1,tfrac12^,n-1r];sen^,n-1x = senx sumk=0^infty l(-tfracsenx2r)^k,
onde fizemos k=n-1.

Passo 4

Reconhecemos uma série geométrica de razão
r = -tfracsenx2
Como lvert senxrvert<=1, segue lvert rrvert<=tfrac12<1, ou seja, a série converge. A soma da série geométrica sumk=0^inftyr^k é
11-r

Passo 5

Aplicando a fórmula, ficamos com
S = senx;11 - l(-tfracsenx2r) = senx;11 + tfracsenx2 = senxtfrac2+senx2 = 2,senx2+senx

Resposta

senx-tfrac12sen^2x+tfrac14sen^3x-tfrac18sen^4x+cdots =2,senx2+senx

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