Questão 3: (42 Pts) Verifique se as séries abaixo convergem absolutamente, condicionalmente ou se divergem:
sumn=1^+infty cos n+26^n

Passo 1

O enunciado pede para classificar a convergência da série
sumn=1^+inftycos n + 26^n,
isto é, verificar se ela converge absolutamente, condicionalmente ou diverge. Vamos usar teoria de séries numéricas, em particular o teste de comparação com uma série geométrica e a ideia de convergência absoluta.

Passo 2

Note que cos n varia em [-1,1], de modo que
-1 <= cos n <= 1 Longrightarrow 1 <= cos n + 2 <= 3
Em particular, cada termo cos n + 26^n é não-negativo e satisfaz
0 ;<=;cos n + 26^n;<=;36^n

Passo 3

A série
sumn=1^+infty36^n
é geométrica de razão r=tfrac16, logo converge. Pelo teste de comparação, a nossa série converge também em valor absoluto. Como todos os termos são positivos, convergência absoluta e convergência simples coincidem.

Resposta

A série converge absolutamente.

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