Questão 3: (42 Pts) Verifique se as séries abaixo convergem absolutamente, condicionalmente ou se divergem:
sumn=1^+infty 3+sen nraizn^3

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^+infty3+sin nraizn^3
converge absolutamente, condicionalmente ou diverge. O conteúdo é testes de convergência de séries numéricas, especialmente o conceito de convergência absoluta e o uso de comparação com séries-p de expoente p.

Passo 2

Para testar a convergência absoluta, analisamos
sumn=1^+infty|3+sin nn^3/2| =sumn=1^+infty|3+sin n|n^3/2
Como sin n está sempre entre -1 e 1, temos
|3+sin n|<= 4
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|3+sin n|n^3/2<= 4n^3/2
Sabemos que sumn=1^infty 1n^3/2 é convergente (série- p com p=tfrac32>1). Pelo teste da comparação, a série com termos tfrac|3+sin n|n^3/2 também converge.

Resposta

A série converge absolutamente.

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