Questão 18. Use o Critério da Integral e verifique se a série
é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para verificar se ela é convergente ou divergente. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A série é uma soma infinita de termos positivos
. - Preciso usar o Critério da Integral para decidir convergência/divergência.
A partir daqui vou aplicar o Critério da Integral à função que interpola os termos da série e calcular a integral imprópria correspondente.
Passo 2
Enunciando o Critério da Integral (explicação didática):
Seja uma função positiva, contínua e monotonamente decrescente. Considere a série
. Então:
Seja
- Se
converge (é finita), então a série também converge. - Se
diverge (vai para infinito), então a série também diverge.
Intuição rápida: para uma função decrescente positiva, as áreas sob a curva e as somas das áreas de retângulos de larguracom altura ficam comparáveis; portanto a soma infinita se comporta como a integral imprópria.
Passo 3
Escolho a função que interpola os termos da série:
Verifico as hipóteses do Critério da Integral:
- Positividade: para
temos e , logo . - Continuidade:
e são contínuas em , logo é contínua. - Monotonicidade: calculemos a derivada para ver onde
é decrescente.
Calcule:
Como
para todo
, o sinal de
é o sinal de
. Portanto
sempre que
. Isso mostra que
é decrescente em
(na verdade em
). O Critério da Integral exige decrescimento a partir de algum ponto finito; se necessário podemos aplicar o critério a partir de
e notar que os termos iniciais
são finitos e não alteram a convergência da série. Assim as hipóteses necessárias estão satisfeitas (eventualmente a partir de
).
Passo 4
Pelo Critério da Integral, basta estudar a integral imprópria
Se essa integral for finita, a série
converge. Vou calcular a integral explicitamente. (Observação: poderia também integrar a partir de
; integrar a partir de
apenas adiciona pedaço finito que não compromete a convergência.)
Passo 5
Cálculo da integral por partes (duas vezes). Começo com a integral imprópria escrita como limite:
Calculo a primitiva
. Faço integração por partes com
e
. Então
e
. Assim
Agora preciso
. Faço integração por partes novamente com
e
. Então
e
. Obtenho
Voltando:
Portanto uma primitiva é
Passo 6
Avalio a integral imprópria usando a primitiva:
Observação sobre o limite:
, porque a exponencial decresce muito mais rápido que qualquer polinômio (intuição:
domina potências de
). Assim o primeiro termo vai a
. O segundo termo é
Logo
que é um número finito.
Passo 7
Conclusão pelo Critério da Integral: como
é positiva, contínua e (eventualmente) decrescente e a integral imprópria
converge (vale
), a série
converge. Como os termos são positivos, trata-se de convergência simples (positiva) — não há problema de alternância ou sinais.
Resposta
Convergente.