Questão 18. Use o Critério da Integral e verifique se a série
\sum_{n=1}^{\infty} n^{2} \cdot e^{-n}
é convergente ou divergente.

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} n^{2}\,e^{-n}
e pede para verificar se ela é convergente ou divergente. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A série é uma soma infinita de termos positivos a_{n}=n^{2}e^{-n}.
  • Preciso usar o Critério da Integral para decidir convergência/divergência.
    A partir daqui vou aplicar o Critério da Integral à função que interpola os termos da série e calcular a integral imprópria correspondente.

Passo 2

Enunciando o Critério da Integral (explicação didática):
Seja f:[1,\infty)\to\mathbb{R} uma função positiva, contínua e monotonamente decrescente. Considere a série \sum_{n=1}^{\infty} f(n). Então:
  • Se \displaystyle \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx converge (é finita), então a série \sum_{n=1}^{\infty} f(n) também converge.
  • Se \displaystyle \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx diverge (vai para infinito), então a série \sum_{n=1}^{\infty} f(n) também diverge.
    Intuição rápida: para uma função decrescente positiva, as áreas sob a curva e as somas das áreas de retângulos de largura 1 com altura f(n) ficam comparáveis; portanto a soma infinita se comporta como a integral imprópria.

Passo 3

Escolho a função que interpola os termos da série:
f(x)=x^{2}e^{-x},\qquad x\ge 1.
Verifico as hipóteses do Critério da Integral:
  • Positividade: para x\ge 1 temos x^{2}>0 e e^{-x}>0, logo f(x)>0.
  • Continuidade: x^{2} e e^{-x} são contínuas em [1,\infty), logo f é contínua.
  • Monotonicidade: calculemos a derivada para ver onde f é decrescente.
    Calcule:
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{2}e^{-x}\big)=2x e^{-x}+x^{2}(-e^{-x})=(2x-x^{2})e^{-x}=x(2-x)e^{-x}.
Como e^{-x}>0 para todo x, o sinal de f'(x) é o sinal de x(2-x). Portanto f'(x)<0 sempre que x>2. Isso mostra que f é decrescente em [3,\infty) (na verdade em (2,\infty)). O Critério da Integral exige decrescimento a partir de algum ponto finito; se necessário podemos aplicar o critério a partir de 3 e notar que os termos iniciais n=1,2 são finitos e não alteram a convergência da série. Assim as hipóteses necessárias estão satisfeitas (eventualmente a partir de n=3).

Passo 4

Pelo Critério da Integral, basta estudar a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} x^{2}e^{-x}\,dx.
Se essa integral for finita, a série \sum_{n=1}^{\infty} n^{2}e^{-n} converge. Vou calcular a integral explicitamente. (Observação: poderia também integrar a partir de 3; integrar a partir de 1 apenas adiciona pedaço finito que não compromete a convergência.)

Passo 5

Cálculo da integral por partes (duas vezes). Começo com a integral imprópria escrita como limite:
\int_{1}^{\infty} x^{2}e^{-x}\,dx = \lim_{t\to\infty}\int_{1}^{t} x^{2}e^{-x}\,dx.
Calculo a primitiva \int x^{2}e^{-x}\,dx. Faço integração por partes com u=x^{2} e dv=e^{-x}\,dx. Então du=2x\,dx e v=-e^{-x}. Assim
\int x^{2}e^{-x}\,dx = -x^{2}e^{-x} + \int 2x e^{-x}\,dx.
Agora preciso \int x e^{-x}\,dx. Faço integração por partes novamente com u=x e dv=e^{-x}\,dx. Então du=dx e v=-e^{-x}. Obtenho
\int x e^{-x}\,dx = -x e^{-x} + \int e^{-x}\,dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C = -(x+1)e^{-x}+C.
Voltando:
\int x^{2}e^{-x}\,dx = -x^{2}e^{-x} + 2\big(-(x+1)e^{-x}\big)+C = -\big(x^{2}+2x+2\big)e^{-x}+C.
Portanto uma primitiva é
F(x)=-\big(x^{2}+2x+2\big)e^{-x}.

Passo 6

Avalio a integral imprópria usando a primitiva:
\int_{1}^{\infty} x^{2}e^{-x}\,dx = \lim_{t\to\infty} \big[F(t)-F(1)\big] = \lim_{t\to\infty} \Big(-\big(t^{2}+2t+2\big)e^{-t} + \big(1^{2}+2\cdot1+2\big)e^{-1}\Big).
Observação sobre o limite: \lim_{t\to\infty} \big(t^{2}+2t+2\big)e^{-t}=0, porque a exponencial decresce muito mais rápido que qualquer polinômio (intuição: e^{t} domina potências de t). Assim o primeiro termo vai a 0. O segundo termo é
\big(1+2+2\big)e^{-1}=5e^{-1}=\frac{5}{e}.
Logo
\int_{1}^{\infty} x^{2}e^{-x}\,dx = \frac{5}{e},
que é um número finito.

Passo 7

Conclusão pelo Critério da Integral: como f(x)=x^{2}e^{-x} é positiva, contínua e (eventualmente) decrescente e a integral imprópria \displaystyle \int_{1}^{\infty} x^{2}e^{-x}\,dx converge (vale \tfrac{5}{e}), a série
\sum_{n=1}^{\infty} n^{2}e^{-n}
converge. Como os termos são positivos, trata-se de convergência simples (positiva) — não há problema de alternância ou sinais.

Resposta

Convergente.

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