Questão 15. Use o Critério da Integral para provar que a série
é divergente.
Passo 1
O enunciado pede: usar o Critério da Integral para provar que a série
é divergente.
Informações dadas e observações imediatas: a -ésima parcela é
. Note que
, então
, e para
temos
. O enunciado exige usar o Critério da Integral; portanto vamos relacionar a soma com a integral imprópria da função contínua apropriada.
Informações dadas e observações imediatas: a
Passo 2
Enunciado e ideia do Critério da Integral (explicado de forma acessível): seja
contínua, positiva e decrescente; com
para todo
. O Critério da Integral diz que a série
converge se, e somente se, a integral imprópria
converge. Intuitivamente isso vem porque as somas de Riemann superiores/inferiores para a integral se relacionam com as somas parciais da série (cada termo da série corresponde à área de um retângulo de base
e altura
), então comportamento do integral e da série é o mesmo quando
tem as propriedades acima.
Passo 3
Escolha da função apropriada e verificação das hipóteses: defina
Verifico propriedades:
- Continuidade:
é composta por e , ambas contínuas em , logo é contínua em . - Positividade para a cauda: para
temos , então para . - Monotonia (decrescência) eventual: calcule a derivada para ver onde
é decrescente.
Calcule:
A partir disso,
quando
, ou seja quando
, isto é
(onde
). Portanto
é decrescente para
. Em particular
é decrescente para todo
. Assim todas as hipóteses do Critério da Integral são satisfeitas na intervalos
.
Passo 4
Aplicando o Critério da Integral: como
é contínua, positiva e decrescente em
e
para
, o Critério da Integral garante que a série
converge ou diverge simultaneamente com a integral imprópria
Logo basta estudar a convergência dessa integral.
Passo 5
Cálculo da integral imprópria
: use a substituição
. Então
, e
Avalie a integral imprópria:
Como
quando
, segue que
. Portanto o limite acima é
, ou seja a integral diverge.
Passo 6
Conclusão a partir do Critério da Integral: a integral imprópria
diverge, então pela equivalência do Critério da Integral a série
também diverge. Como remover ou adicionar um número finito de termos não altera convergência/divergência, concluímos que a série original
é divergente.
Resposta
A série
diverge.