Questão 15. Use o Critério da Integral para provar que a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n}
é divergente.

Passo 1

O enunciado pede: usar o Critério da Integral para provar que a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n}
é divergente.
Informações dadas e observações imediatas: a n-ésima parcela é a_n=\dfrac{\ln n}{n}. Note que \ln 1=0, então a_1=0, e para n\ge 2 temos a_n\ge 0. O enunciado exige usar o Critério da Integral; portanto vamos relacionar a soma com a integral imprópria da função contínua apropriada.

Passo 2

Enunciado e ideia do Critério da Integral (explicado de forma acessível): seja f:(k,\infty)\to\mathbb{R} contínua, positiva e decrescente; com a_n=f(n) para todo n\ge k. O Critério da Integral diz que a série \sum_{n=k}^{\infty} a_n converge se, e somente se, a integral imprópria
\int_{k}^{\infty} f(x)\,dx
converge. Intuitivamente isso vem porque as somas de Riemann superiores/inferiores para a integral se relacionam com as somas parciais da série (cada termo da série corresponde à área de um retângulo de base 1 e altura f(n)), então comportamento do integral e da série é o mesmo quando f tem as propriedades acima.

Passo 3

Escolha da função apropriada e verificação das hipóteses: defina
f(x)=\frac{\ln x}{x},\qquad x>0.
Verifico propriedades:
  • Continuidade: f é composta por \ln x e x, ambas contínuas em (0,\infty), logo f é contínua em (0,\infty).
  • Positividade para a cauda: para x\ge 2 temos \ln x\ge 0, então f(x)\ge 0 para x\ge 2.
  • Monotonia (decrescência) eventual: calcule a derivada para ver onde f é decrescente.
    Calcule f'(x):
f'(x)=\left(\frac{\ln x}{x}\right)'=\frac{\frac{1}{x}\cdot x - \ln x\cdot 1}{x^{2}}=\frac{1-\ln x}{x^{2}}.
A partir disso, f'(x)<0 quando 1-\ln x<0, ou seja quando \ln x>1, isto é x>e (onde e\approx 2,718). Portanto f é decrescente para x>e. Em particular f é decrescente para todo x\ge 3. Assim todas as hipóteses do Critério da Integral são satisfeitas na intervalos [3,\infty).

Passo 4

Aplicando o Critério da Integral: como f é contínua, positiva e decrescente em [3,\infty) e a_n=f(n) para n\ge 3, o Critério da Integral garante que a série
\sum_{n=3}^{\infty} \frac{\ln n}{n}
converge ou diverge simultaneamente com a integral imprópria
\int_{3}^{\infty} \frac{\ln x}{x}\,dx.
Logo basta estudar a convergência dessa integral.

Passo 5

Cálculo da integral imprópria \displaystyle\int_{3}^{\infty}\frac{\ln x}{x}\,dx: use a substituição u=\ln x. Então du=\dfrac{1}{x}\,dx, e
\int \frac{\ln x}{x}\,dx=\int u\,du=\frac{u^{2}}{2}+C=\frac{(\ln x)^{2}}{2}+C.
Avalie a integral imprópria:
\int_{3}^{\infty}\frac{\ln x}{x}\,dx=\lim_{N\to\infty}\int_{3}^{N}\frac{\ln x}{x}\,dx =\lim_{N\to\infty}\left[\frac{(\ln x)^{2}}{2}\right]_{x=3}^{x=N} =\lim_{N\to\infty}\left(\frac{(\ln N)^{2}}{2}-\frac{(\ln 3)^{2}}{2}\right).
Como \ln N\to\infty quando N\to\infty, segue que (\ln N)^{2}\to\infty. Portanto o limite acima é +\infty, ou seja a integral diverge.

Passo 6

Conclusão a partir do Critério da Integral: a integral imprópria \displaystyle\int_{3}^{\infty}\frac{\ln x}{x}\,dx diverge, então pela equivalência do Critério da Integral a série \displaystyle\sum_{n=3}^{\infty}\frac{\ln n}{n} também diverge. Como remover ou adicionar um número finito de termos não altera convergência/divergência, concluímos que a série original
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n}
é divergente.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\ln n}{n} diverge.

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