QUESTÃO 144

Uma loja vende seus produtos de duas formas: à vista ou financiado em três parcelas mensais iguais. Para definir o valor dessas parcelas nas vendas financiadas, a loja aumenta em 20 por cento o valor do produto à vista e divide esse novo valor por 3 . A primeira parcela deve ser paga no ato da compra, e as duas últimas, em 30 e 60 dias após a compra.
Um cliente da loja decidiu comprar, de forma financiada, um produto cujo valor à vista é 1500 reais.
Utilize 5,29 como aproximação para raiz quadrada de 28 .
A taxa mensal de juros compostos praticada nesse financiamento é de
a. 6,7 por cento
b. 10 por cento
c. 20 por cento
d. 21,5 por cento
e. 23,3 por cento

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Valor à vista do produto: 1500 reais.
  • Nas vendas financiadas a loja aumenta em 20\% o valor à vista e divide esse novo valor em 3 parcelas iguais.
  • As parcelas são pagas nos tempos: primeira no ato da compra (mês 0), segunda após 30 dias (mês 1) e terceira após 60 dias (mês 2).
  • Foi dada a aproximação \sqrt{28}=5,29.
  • Pergunta: qual é a taxa mensal de juros compostos praticada nesse financiamento? (há opções; precisamos achar a taxa mensal em porcentagem).

Passo 2

Calcular o valor das parcelas (dados diretos do enunciado):
  • A loja aumenta 20\% o valor à vista 1500. Então o preço financiado é
1500\times(1+0,20)=1500\times1,20=1800.
  • Esse valor é dividido em 3 parcelas iguais, logo cada parcela vale
\frac{1800}{3}=600.
Anota aí: teremos três pagamentos de 600 reais nos instantes t=0,\,1,\,2 meses.

Passo 3

Modelo financeiro a usar (explicação didática):
  • Em regime de juros compostos mensais, para uma taxa mensal r (decimal), o valor presente de uma quantia A paga no mês t é \dfrac{A}{(1+r)^t}.
  • Aqui queremos que o valor presente das três parcelas (à taxa r) seja igual ao preço à vista 1500, porque a loja está cobrando essas parcelas de forma que, descontadas ao mesmo r, valham o preço à vista.
  • Então escrevemos a equação do valor presente:
1500 = 600 + \frac{600}{1+r} + \frac{600}{(1+r)^2}.
  • Explico cada termo: o primeiro 600 não é descontado porque é pago no ato ( t=0); o segundo é descontado por um mês; o terceiro por dois meses.

Passo 4

Simplificar a equação e reduzir ao polinômio:
  • Dividindo ambos os lados por 600 para simplificar, obtemos
\frac{1500}{600} = 1 + \frac{1}{1+r} + \frac{1}{(1+r)^2}.
  • Como \dfrac{1500}{600}=2{,}5, temos
1 + \frac{1}{1+r} + \frac{1}{(1+r)^2}=2{,}5.
  • Faça a substituição conveniente \displaystyle x=\frac{1}{1+r}. Então \frac{1}{(1+r)^2}=x^2 e a equação vira
1 + x + x^2 = 2{,}5.
  • Reorganizando:
x^2 + x + 1 - 2{,}5 = 0 \quad\Rightarrow\quad x^2 + x - 1{,}5 = 0.

Passo 5

Resolver a equação quadrática (aqui ensino a fórmula):
  • Para ax^2+bx+c=0, a solução é x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.
  • Aplicando em x^2+x-1{,}5=0 (onde a=1, b=1, c=-1{,}5):
x=\frac{-1\pm\sqrt{1-4\cdot1\cdot(-1{,}5)}}{2} =\frac{-1\pm\sqrt{1+6}}{2} =\frac{-1\pm\sqrt{7}}{2}.
  • Só nos interessa a raiz positiva (pois x=\dfrac{1}{1+r} deve ser positiva). Então
x=\frac{-1+\sqrt{7}}{2}.
  • Usando a aproximação dada: \sqrt{28}=5{,}29. Como \sqrt{28}=2\sqrt{7}, obtemos
\sqrt{7}=\frac{\sqrt{28}}{2}=\frac{5{,}29}{2}=2{,}645.
  • Substituindo:
x=\frac{-1+2{,}645}{2}=\frac{1{,}645}{2}=0{,}8225.

Passo 6

Encontrar r a partir de x e converter para porcentagem:
  • Lembrando que x=\dfrac{1}{1+r}, temos 1+r=\dfrac{1}{x}. Então
1+r=\frac{1}{0{,}8225}\approx1{,}2154.
  • Portanto r\approx1{,}2154-1=0{,}2154 em forma decimal.
  • Convertendo para porcentagem e arredondando na casa decimal (como nas alternativas):
r\approx21{,}54\%\approx21{,}5\%.

Resposta

d. 21{,}5\%

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