A progressão geométrica infinita (
) tem razão
. Sabe-se que a progressão infinita (
) tem soma 8 e a progressão infinita (
) tem soma 2. Determine a soma da progressão infinita (
).
Passo 1
O enunciado fornece uma progressão geométrica infinita
com razão
. Sabe-se que:
A pergunta é: determine a soma da progressão geométrica infinita completa
.
Passo 2
Vamos escrever uma fórmula geral para os termos da progressão geométrica original. Em qualquer progressão geométrica, o
-ésimo termo é dado por
onde
é o primeiro termo e
é a razão. Isso vale para todos os
. Aqui
e, para que a soma infinita exista, precisamos de
(vamos checar isso depois).
Uma propriedade útil: se temos uma progressão geométrica com primeiro termo
e razão
tal que
, então a soma da série infinita é
Explicação rápida dessa fórmula: cada termo é
; somando uma série geométrica finita e fazendo o limite quando o número de termos vai para infinito, obtemos a fórmula acima, desde que
para o termo de erro tender a zero.
Passo 3
Identificamos as duas subsequências dadas em termos de
e
.
Primeira subsequência:
.
O termo geral dessa subsequência é
O termo geral dessa subsequência é
Logo essa subsequência é uma progressão geométrica com primeiro termo
e razão
. Como a soma dessa série infinita é
, aplicando a fórmula da soma:
Segunda subsequência:
.
O primeiro termo dessa subsequência é e o termo geral é
O primeiro termo dessa subsequência é
Então essa subsequência também tem razão
e primeiro termo
. Como sua soma infinita é
, temos:
Passo 4
Temos então o sistema de duas equações simples:
Dividindo a segunda equação pela primeira (isso elimina
e
):
Simplificando o lado esquerdo sobra
, e o lado direito vale
. Portanto
Passo 5
Agora resolvemos
. As raízes quartas de
são
. Note que
Logo as soluções são
. Como o enunciado informou que
, escolhemos
Verificamos que
, então as somas infinitas são bem definidas.
Passo 6
Agora encontramos
. Usamos a primeira equação
Calculemos
. Como
, temos
Então
Portanto
Simplificando:
Como
, obtemos
Passo 7
Agora calculamos a soma da progressão geométrica original. A soma infinita de uma PG com primeiro termo
e razão
(quando
) é
Substituindo
e
:
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por
:
Racionalizando (multiplicando por
em cima e embaixo):
Calculando termos:
então
Logo a soma da progressão geométrica original é
.