A progressão geométrica infinita ( a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}, \cdots ) tem razão r<0. Sabe-se que a progressão infinita ( a_{1}, a_{6}, \cdots, a_{5 n-4}, \cdots ) tem soma 8 e a progressão infinita ( a_{5}, a_{10}, \cdots, a_{5 n}, \cdots ) tem soma 2. Determine a soma da progressão infinita ( a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}, \cdots ).

Passo 1

O enunciado fornece uma progressão geométrica infinita (a_{1},a_{2},\dots,a_{n},\dots) com razão r<0. Sabe-se que:
\text{a progressão infinita }(a_{1},a_{6},\dots,a_{5n-4},\dots)\text{ tem soma }8,ã
\text{a progressão infinita }(a_{5},a_{10},\dots,a_{5n},\dots)\text{ tem soma }2.ã
A pergunta é: determine a soma da progressão geométrica infinita completa (a_{1},a_{2},\dots,a_{n},\dots).

Passo 2

Vamos escrever uma fórmula geral para os termos da progressão geométrica original. Em qualquer progressão geométrica, o n-ésimo termo é dado por
a_n = a_1 r^{\,n-1},
onde a_1 é o primeiro termo e r é a razão. Isso vale para todos os n\ge1. Aqui r<0 e, para que a soma infinita exista, precisamos de |r|<1 (vamos checar isso depois).
Uma propriedade útil: se temos uma progressão geométrica com primeiro termo A e razão q tal que |q|<1, então a soma da série infinita é
\sum_{k=0}^{\infty} A q^{k} = \frac{A}{1-q}.
Explicação rápida dessa fórmula: cada termo é A q^k; somando uma série geométrica finita e fazendo o limite quando o número de termos vai para infinito, obtemos a fórmula acima, desde que |q|<1 para o termo de erro tender a zero.

Passo 3

Identificamos as duas subsequências dadas em termos de a_1 e r.
Primeira subsequência: (a_{1},a_{6},\dots,a_{5n-4},\dots).
O termo geral dessa subsequência é
a_{5n-4} = a_1 r^{\,5n-5} = a_1\big(r^{5}\big)^{\,n-1}.
Logo essa subsequência é uma progressão geométrica com primeiro termo A_1=a_1 e razão q=r^{5}. Como a soma dessa série infinita é 8, aplicando a fórmula da soma:
\frac{a_1}{1-r^{5}} = 8.
Segunda subsequência: (a_{5},a_{10},\dots,a_{5n},\dots).
O primeiro termo dessa subsequência é a_5 = a_1 r^{4} e o termo geral é
a_{5n} = a_1 r^{\,5n-1} = \big(a_1 r^{4}\big)\big(r^{5}\big)^{\,n-1}.
Então essa subsequência também tem razão q=r^{5} e primeiro termo A_2=a_1 r^{4}. Como sua soma infinita é 2, temos:
\frac{a_1 r^{4}}{1-r^{5}} = 2.

Passo 4

Temos então o sistema de duas equações simples:
\frac{a_1}{1-r^{5}} = 8, \qquad \frac{a_1 r^{4}}{1-r^{5}} = 2.
Dividindo a segunda equação pela primeira (isso elimina a_1 e 1-r^{5}):
\frac{a_1 r^{4}}{1-r^{5}} \div \frac{a_1}{1-r^{5}} = \frac{2}{8}.
Simplificando o lado esquerdo sobra r^{4}, e o lado direito vale \tfrac{1}{4}. Portanto
r^{4} = \frac{1}{4}.

Passo 5

Agora resolvemos r^{4}=\tfrac{1}{4}. As raízes quartas de \tfrac{1}{4} são r = \pm\big(\tfrac{1}{4}\big)^{1/4}. Note que
\big(\tfrac{1}{4}\big)^{1/4} = \big(2^{-2}\big)^{1/4} = 2^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}.
Logo as soluções são r = \pm \tfrac{1}{\sqrt{2}}. Como o enunciado informou que r<0, escolhemos
r = -\frac{1}{\sqrt{2}}.
Verificamos que |r|=\tfrac{1}{\sqrt{2}}<1, então as somas infinitas são bem definidas.

Passo 6

Agora encontramos a_1. Usamos a primeira equação
\frac{a_1}{1-r^{5}} = 8.
Calculemos r^{5}. Como r^{4}=\tfrac{1}{4}, temos
r^{5} = r^{4}\cdot r = \frac{1}{4}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{1}{4\sqrt{2}}.
Então
1 - r^{5} = 1 -\left(-\frac{1}{4\sqrt{2}}\right) = 1 + \frac{1}{4\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}+1}{4\sqrt{2}}.
Portanto
a_1 = 8\big(1-r^{5}\big) = 8\cdot\frac{4\sqrt{2}+1}{4\sqrt{2}}.
Simplificando:
a_1 = \frac{8}{4\sqrt{2}}\big(4\sqrt{2}+1\big) = \frac{2}{\sqrt{2}}\big(4\sqrt{2}+1\big).
Como \tfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}, obtemos
a_1 = \sqrt{2}\,(4\sqrt{2}+1) = 8 + \sqrt{2}.

Passo 7

Agora calculamos a soma da progressão geométrica original. A soma infinita de uma PG com primeiro termo a_1 e razão r (quando |r|<1) é
S = \frac{a_1}{1-r}.
Substituindo a_1=8+\sqrt{2} e r=-\tfrac{1}{\sqrt{2}}:
S = \frac{8+\sqrt{2}}{1 - \left(-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)} = \frac{8+\sqrt{2}}{1+\tfrac{1}{\sqrt{2}}}.
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{2}:
S = \frac{(8+\sqrt{2})\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1} = \frac{8\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}+1}.
Racionalizando (multiplicando por \sqrt{2}-1 em cima e embaixo):
S = (8\sqrt{2}+2)(\sqrt{2}-1) = 8\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} - 8\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 2.
Calculando termos:
8\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=8\cdot 2=16,
então
S = 16 -8\sqrt{2} +2\sqrt{2} -2 = 14 -6\sqrt{2}.
Logo a soma da progressão geométrica original é 14 - 6\sqrt{2}.

Resposta

14 - 6\sqrt{2}

Exercícios relacionados