Questão 21. Considere a série condicionalmente converge
i) Defina a série somando pares de números da série original como a seguir.
Mostre que a série construída de termos positivos é convergente e seu valor é aproximadamente igual a
.
ii) Reagrupe a série inicial como a seguir. A cada termo positivo da série, insira os dois próximos números negativos, obtendo uma nova série.
Mostre que a série
é convergente e
.
Mostre que a série construída de termos positivos é convergente e seu valor é aproximadamente igual a
ii) Reagrupe a série inicial como a seguir. A cada termo positivo da série, insira os dois próximos números negativos, obtendo uma nova série.
Passo 1
O enunciado trata da série alternada
que converge condicionalmente.
Em (i) agrupa-se termos adjacentes em blocos de dois, gerando uma nova série de termos positivos
Em (i) agrupa-se termos adjacentes em blocos de dois, gerando uma nova série de termos positivos
Em (ii) reagrupa-se cada termo positivo com os dois negativos seguintes, formando
Precisamos mostrar que ambas convergem e que
.
Passo 2
Mostramos primeiro a convergência de
Note que
Como
, temos
e pelo critério da comparação com uma série
-com
, a série
converge.
Passo 3
Para achar o valor de
observamos que a soma parcial até
é
que é justamente o
-ésimo parcial da série alternada original. Como
segue
Passo 4
Portanto
Passo 5
Agora analisamos
Reescrevendo,
logo
Isso mostra que
Resposta
S converge e
e