Questão 15 Calcule as seguintes integrais de superfície dos campos vetoriais:
F(x, y, z)=z \vec{i}+y \vec{j}+x \vec{k}, onde S é o helicóide r(u, v)=(u \operatorname{cosv}, u \operatorname{semv}, v), 0 \leq u \leq 1, 0 \leq v \leq \pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície do campo vetorial \displaystyle F(x,y,z)=z\,\vec{i}+y\,\vec{j}+x\,\vec{k} sobre a superfície S que é o helicóide parametrizado por
r(u,v)=(u\cos v,\;u\sin v,\;v),\qquad 0\le u\le 1,\;0\le v\le \pi.
Informações relevantes dadas:
\begin{aligned} &F(x,y,z)=(z,\;y,\;x),\\[4pt] &r(u,v)=(u\cos v,\;u\sin v,\;v),\\[4pt] &\text{domínio paramétrico: }(u,v)\in[0,1]\times[0,\pi]. \end{aligned}íé
A pergunta implícita é calcular a integral de fluxo \displaystyle \iint_{S}F\cdot d\mathbf{S} (ou seja, \iint_{S}F\cdot\mathbf{n}\,dS), usando a parametrização dada.]

Passo 2

Explicação didática do método: quando uma superfície S é dada por uma parametrização \displaystyle r(u,v), o elemento vetorial de área orientado é
d\mathbf{S}=(r_u\times r_v)\,du\,dv,
onde r_u=\dfrac{\partial r}{\partial u} e r_v=\dfrac{\partial r}{\partial v}. Assim o fluxo de F por S é
\iint_S F\cdot d\mathbf{S}=\iint_{D} F\big(r(u,v)\big)\cdot\big(r_u\times r_v\big)\,du\,dv,
com D sendo o domínio dos parâmetros (u,v). Aqui cada símbolo significa:
  • r(u,v): posição de um ponto da superfície em função dos parâmetros u,v;
  • r_u,r_v: vetores tangentes à superfície nas direções u e v;
  • r_u\times r_v: vetor normal (orientado) à superfície multiplicado pela área do paralelogramo formado por r_u,r_v;
  • F(r(u,v)): campo vetorial avaliado na superfície.
Vamos aplicar exatamente essa fórmula passo a passo.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de r(u,v).
r(u,v)=(u\cos v,\;u\sin v,\;v).
Derivando em relação a u:
r_u=\frac{\partial r}{\partial u}=(\cos v,\;\sin v,\;0).
Derivando em relação a v:
r_v=\frac{\partial r}{\partial v}=(-u\sin v,\;u\cos v,\;1).
Expliquei: para cada componente diferenciamos mantendo a outra variável fixa.

Passo 4

Calcular o produto vetorial r_u\times r_v. Usamos a fórmula do determinante:
r_u\times r_v= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\[4pt] \cos v & \sin v & 0 \\[4pt] - u\sin v & u\cos v & 1 \end{vmatrix}.
Computando componente a componente:
  • Componente \vec{i}: \sin v\cdot 1 - 0\cdot (u\cos v)=\sin v.
  • Componente \vec{j}: -\big(\cos v\cdot 1 - 0\cdot(-u\sin v)\big)=-\cos v.
  • Componente \vec{k}: \cos v\cdot u\cos v - \sin v\cdot(-u\sin v)=u(\cos^2 v+\sin^2 v)=u.
Portanto
r_u\times r_v=(\sin v,\;-\cos v,\;u).]

Passo 5

Avaliar o campo F sobre a parametrização: substituir x=u\cos v, y=u\sin v, z=v em F(x,y,z)=(z,y,x). Assim
F\big(r(u,v)\big)=(v,\;u\sin v,\;u\cos v).

Passo 6

Calcular o produto interno F(r(u,v))\cdot (r_u\times r_v). Fazemos termo a termo:
\begin{aligned} F\big(r(u,v)\big)\cdot\big(r_u\times r_v\big) &= (v)\cdot(\sin v) + (u\sin v)\cdot(-\cos v) + (u\cos v)\cdot(u)\\[4pt] &= v\sin v - u\sin v\cos v + u^2\cos v. \end{aligned}
Isso será a função que vamos integrar sobre o domínio [0,1]\times[0,\pi].]

Passo 7

Montar a integral dupla de fluxo:
\iint_S F\cdot d\mathbf{S}=\int_{v=0}^{\pi}\int_{u=0}^{1}\big(v\sin v - u\sin v\cos v + u^2\cos v\big)\,du\,dv.
Vamos separar em três integrais (linearidade da integral):
I_1=\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1} v\sin v\,du\,dv, \qquad I_2=-\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1} u\sin v\cos v\,du\,dv, \qquad I_3=\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1} u^2\cos v\,du\,dv.

Passo 8

Calcular I_1. Observação: v\sin v não depende de u, então a integral em u é simples:
I_1=\int_{0}^{\pi} v\sin v\left(\int_{0}^{1}du\right)dv=\int_{0}^{\pi} v\sin v\,dv.
Integrando por partes: seja a=v e db=\sin v\,dv. Então da=dv e b=-\cos v. Assim
\int v\sin v\,dv = -v\cos v + \int \cos v\,dv = -v\cos v + \sin v.
Avaliaremos de 0 a \pi:
I_1=\big[-v\cos v + \sin v\big]_{0}^{\pi}=(-\pi\cos\pi+\sin\pi)-(-0\cdot\cos0+\sin0)=(-\pi\cdot(-1)+0)-0=\pi.

Passo 9

Calcular I_2. Primeiro integrar em u:
\int_{0}^{1} u\,du = \frac{1}{2}.
Então
I_2=-\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\sin v\cos v\,dv.
Usamos que \sin v\cos v=\dfrac{1}{2}\sin^2 v' via substituição ou observando que \dfrac{d}{dv}(\sin^2 v)=2\sin v\cos v. Assim
\int_{0}^{\pi}\sin v\cos v\,dv=\frac{1}{2}\big[\sin^2 v\big]_{0}^{\pi}=\frac{1}{2}(0-0)=0.
Portanto I_2=0.

Passo 10

Calcular I_3. Primeiro integrar em u:
\int_{0}^{1} u^2\,du=\frac{1}{3}.
Logo
I_3=\frac{1}{3}\int_{0}^{\pi}\cos v\,dv=\frac{1}{3}\big[\sin v\big]_{0}^{\pi}=\frac{1}{3}(0-0)=0.

Passo 11

Somar os termos:
\iint_S F\cdot d\mathbf{S}=I_1+I_2+I_3=\pi+0+0=\pi.
Interpretando: o único contributo não-nulo veio do termo v\sin v; os outros dois se cancelaram ao integrar sobre v\in[0,\pi].

Resposta

\pi

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