Questão 15 Calcule as seguintes integrais de superfície dos campos vetoriais: F(x, y, z)=z \vec{i}+y \vec{j}+x \vec{k}, onde S é o helicóide r(u, v)=(u \operatorname{cosv}, u \operatorname{semv}, v), 0 \leq u \leq 1, 0 \leq v \leq \pi.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície do campo vetorial \displaystyle F(x,y,z)=z\,\vec{i}+y\,\vec{j}+x\,\vec{k} sobre a superfície S que é o helicóide parametrizado por
A pergunta implícita é calcular a integral de fluxo \displaystyle \iint_{S}F\cdot d\mathbf{S} (ou seja, \iint_{S}F\cdot\mathbf{n}\,dS), usando a parametrização dada.]
Passo 2
Explicação didática do método: quando uma superfície S é dada por uma parametrização \displaystyle r(u,v), o elemento vetorial de área orientado é
d\mathbf{S}=(r_u\times r_v)\,du\,dv,
onde r_u=\dfrac{\partial r}{\partial u} e r_v=\dfrac{\partial r}{\partial v}. Assim o fluxo de F por S é