Questão 9 Seja
um subconjunto contido no plano xy e
a fronteira de
e
campo vetorial de classe
sobre
. Se
é uma parametrização de
, prove que o vetor
é unitário e normal a curva
. Prove a seguinte igualdade conhecida como teorema de Gauss:
Passo 1
Dados e o que se pede:
- Temos um subconjunto
contido no plano e sua fronteira . - O campo vetorial é
de classe sobre . - A curva fronteira é parametrizada por
. Denotamos e o elemento de comprimento de arco por . - Foi dado o vetor
Pede-se:
- Mostrar que
é unitário (norma igual a 1) e normal à curva (ou seja, ortogonal a ). - Provar a igualdade (teorema de Gauss / forma de fluxo de Green)
onde .
Vou supor a orientação usual positiva da fronteira (isto é,
percorrida no sentido anti-horário), condição padrão para aplicar o teorema de Green/Gauss no plano.
Passo 2
Provar que
é unitário.
Explicação didática curta: a norma (comprimento) de um vetor
é
. Para mostrar que um vetor é unitário basta mostrar que o quadrado da norma é
.
Calcule o quadrado da norma de
. Temos componentes
. Logo
Mas por definição
, então
. Substituindo,
Portanto
, isto é,
é unitário.
Passo 3
Provar que
é normal (ortogonal) a
.
Explicação didática: dois vetores
e
são ortogonais quando o produto escalar
. O produto escalar de
e
é
.
Calcule o produto escalar
. Temos
e
. Então
Como o produto escalar é zero,
é ortogonal a
. Juntando com o passo anterior,
é um vetor normal unitário à curva.
Passo 4
Reescrever a integral de fluxo em termos da parametrização e de
.
Explicação didática: O elemento de comprimento de arco é
. Para transformar integrais de linha com
em integrais em
usamos essa relação. Também usamos que
e
.
Calcule
. Como
e
, obtemos
Agora o produto escalar
é
Usando
e
isso se escreve como
Portanto a integral de fluxo no contorno é
Passo 5
Aplicar o teorema de Green (forma circulação) para transformar a integral de contorno numa integral dupla sobre
.
Explicação didática do teorema de Green: Para uma curva simples fechada
que é fronteira de uma região
, percorrida de forma positiva (anti-horária), e para funções
de classe
em uma vizinhança de
,
Aqui
é o elemento de área no plano
. Essa é uma versão do teorema que relaciona circulação ao rotacional; nós o usamos para obter a forma do fluxo.
No nosso caso escolhemos
e
. Então,
Mas o integrando
é exatamente a divergência do campo
, ou seja
Passo 6
Conclusão final unindo os passos: a integral de fluxo sobre a fronteira é igual à integral dupla da divergência sobre a região.
A partir do passo 4 temos
. Pelo passo 5, essa integral de contorno é igual a
. Portanto
como pedido.