Questão 9 Seja D \subset \mathbb{R}^{3} um subconjunto contido no plano xy e \gamma a fronteira de D e F(x, y, z)= P(x, y) \vec{i}+Q(x, y) \vec{j} campo vetorial de classe C^{1} sobre D. Se \gamma(t)=(x(t), y(t), 0) é uma parametrização de \gamma, prove que o vetor \vec{n}(t)=\frac{y^{\prime}(t) \vec{i}}{\left\|\gamma^{\prime}(t)\right\|}-\frac{x^{\prime}(t) \vec{j}}{\left\|\gamma^{\prime}(t)\right\|} é unitário e normal a curva \gamma(t). Prove a seguinte igualdade conhecida como teorema de Gauss:
\oint_{\gamma} \vec{F} \cdot \vec{n} d s=\iint_{D} \operatorname{div}(\vec{F})

Passo 1

Dados e o que se pede:
  • Temos um subconjunto D\subset\mathbb{R}^3 contido no plano xy e sua fronteira \gamma.
  • O campo vetorial é \vec{F}(x,y,z)=P(x,y)\,\vec{i}+Q(x,y)\,\vec{j} de classe C^{1} sobre D.
  • A curva fronteira é parametrizada por \gamma(t)=(x(t),y(t),0). Denotamos \gamma'(t)=(x'(t),y'(t),0) e o elemento de comprimento de arco por d s=\|\gamma'(t)\|\,dt.
  • Foi dado o vetor \vec{n}(t)=\frac{y'(t)\,\vec{i}}{\|\gamma'(t)\|}-\frac{x'(t)\,\vec{j}}{\|\gamma'(t)\|}.
Pede-se:
  1. Mostrar que \vec{n}(t) é unitário (norma igual a 1) e normal à curva \gamma(t) (ou seja, ortogonal a \gamma'(t)).
  2. Provar a igualdade (teorema de Gauss / forma de fluxo de Green) \oint_{\gamma}\vec{F}\cdot\vec{n}\,d s=\iint_{D}\operatorname{div}(\vec{F})\,dA,onde \operatorname{div}(\vec{F})=\dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y}.
Vou supor a orientação usual positiva da fronteira (isto é, \gamma percorrida no sentido anti-horário), condição padrão para aplicar o teorema de Green/Gauss no plano.

Passo 2

Provar que \vec{n}(t) é unitário.
Explicação didática curta: a norma (comprimento) de um vetor \vec{v}=(v_x,v_y,v_z) é \|\vec{v}\|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}. Para mostrar que um vetor é unitário basta mostrar que o quadrado da norma é 1.
Calcule o quadrado da norma de \vec{n}(t). Temos componentes \vec{n}(t)=\big(\dfrac{y'}{\|\gamma'\|},-\dfrac{x'}{\|\gamma'\|},0\big). Logo
\|\vec{n}(t)\|^2=\left(\frac{y'}{\|\gamma'\|}\right)^2+\left(-\frac{x'}{\|\gamma'\|}\right)^2 =\frac{y'^2+x'^2}{\|\gamma'\|^2}.
Mas por definição \|\gamma'(t)\|=\sqrt{x'^2+y'^2}, então \|\gamma'\|^2=x'^2+y'^2. Substituindo,
\|\vec{n}(t)\|^2=\frac{x'^2+y'^2}{x'^2+y'^2}=1.
Portanto \|\vec{n}(t)\|=1, isto é, \vec{n}(t) é unitário.

Passo 3

Provar que \vec{n}(t) é normal (ortogonal) a \gamma'(t).
Explicação didática: dois vetores \vec{a} e \vec{b} são ortogonais quando o produto escalar \vec{a}\cdot\vec{b}=0. O produto escalar de (a_x,a_y,a_z) e (b_x,b_y,b_z) é a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z.
Calcule o produto escalar \gamma'(t)\cdot\vec{n}(t). Temos \gamma'(t)=(x',y',0) e \vec{n}(t)=\big(\dfrac{y'}{\|\gamma'\|},-\dfrac{x'}{\|\gamma'\|},0\big). Então
\gamma'(t)\cdot\vec{n}(t)=x'\cdot\frac{y'}{\|\gamma'\|}+y'\cdot\left(-\frac{x'}{\|\gamma'\|}\right)=\frac{x'y'-x'y'}{\|\gamma'\|}=0.
Como o produto escalar é zero, \vec{n}(t) é ortogonal a \gamma'(t). Juntando com o passo anterior, \vec{n}(t) é um vetor normal unitário à curva.

Passo 4

Reescrever a integral de fluxo em termos da parametrização e de dt.
Explicação didática: O elemento de comprimento de arco é d s=\|\gamma'(t)\|\,dt. Para transformar integrais de linha com d s em integrais em t usamos essa relação. Também usamos que dx=x'(t)\,dt e dy=y'(t)\,dt.
Calcule \vec{n}(t)\,d s. Como d s=\|\gamma'\|\,dt e \vec{n}(t)=\big(\dfrac{y'}{\|\gamma'\|},-\dfrac{x'}{\|\gamma'\|},0\big), obtemos
\vec{n}(t)\,d s=\big(y'(t),-x'(t),0\big)\,dt.
Agora o produto escalar \vec{F}\cdot\vec{n}\,d s é
\vec{F}(\gamma(t))\cdot\vec{n}(t)\,d s =\big(P(x(t),y(t)),Q(x(t),y(t)),0\big)\cdot\big(y',-x',0\big)\,dt = P\,y' - Q\,x'\,dt.
Usando dx=x'\,dt e dy=y'\,dt isso se escreve como
\vec{F}\cdot\vec{n}\,d s = -Q\,dx + P\,dy.
Portanto a integral de fluxo no contorno é
\oint_{\gamma}\vec{F}\cdot\vec{n}\,d s=\oint_{\gamma}(-Q\,dx + P\,dy).

Passo 5

Aplicar o teorema de Green (forma circulação) para transformar a integral de contorno numa integral dupla sobre D.
Explicação didática do teorema de Green: Para uma curva simples fechada \gamma que é fronteira de uma região D, percorrida de forma positiva (anti-horária), e para funções M(x,y),N(x,y) de classe C^1 em uma vizinhança de D,
\oint_{\gamma} M\,dx + N\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right) dA.
Aqui dA é o elemento de área no plano xy. Essa é uma versão do teorema que relaciona circulação ao rotacional; nós o usamos para obter a forma do fluxo.
No nosso caso escolhemos M(x,y)=-Q(x,y) e N(x,y)=P(x,y). Então,
\oint_{\gamma}(-Q\,dx + P\,dy)=\iint_{D}\left(\frac{\partial P}{\partial x}-\frac{\partial(-Q)}{\partial y}\right)dA =\iint_{D}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}\right)dA.
Mas o integrando \dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y} é exatamente a divergência do campo \vec{F}, ou seja
\operatorname{div}(\vec{F})=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}.

Passo 6

Conclusão final unindo os passos: a integral de fluxo sobre a fronteira é igual à integral dupla da divergência sobre a região.
A partir do passo 4 temos \oint_{\gamma}\vec{F}\cdot\vec{n}\,d s=\oint_{\gamma}(-Q\,dx + P\,dy). Pelo passo 5, essa integral de contorno é igual a \iint_{D}(\partial P/\partial x+\partial Q/\partial y)\,dA. Portanto
\oint_{\gamma}\vec{F}\cdot\vec{n}\,d s=\iint_{D}\operatorname{div}(\vec{F})\,dA,
como pedido.

Resposta

\vec{n}(t) é unitário e ortogonal a \gamma'(t).\n \displaystyle \oint_{\gamma}\vec{F}\cdot\vec{n}\,d s=\iint_{D}\operatorname{div}(\vec{F})\,dA.

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