Questão 8 Seja
um subconjunto contido no plano xy. Seja
vetor normal unitário a D. Seja
campo vetorial de classe
sobre
e
uma curva suave por partes que delimita a região D. Mostre a seguinte igualdade conhecida como teorema de Stokes:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede claramente a igualdade abaixo.
-
Dados:
é um subconjunto contido no plano .
é o vetor normal unitário a .
é um campo vetorial de classe sobre (observe que e dependem só de e ).
é uma curva suave por partes que delimita a região . -
O que se pede:
Mostrar a igualdade
Passo 2
Calcular explicitamente
(o rotacional, também escrito
) para o campo dado.
-
Definição que vamos usar: para
temos Aqui cada componente é uma derivada parcial; por exemplosignifica "derivar a segunda componente de em relação a ". -
No nosso caso
, , e não dependem de . Logo as derivadas em relação a são zero e obtemos -
Agora o produto escalar com
(que é justamente a direção ) dá Comentário didático: isso mostra que, para um campo restrito ao plano, o rotacional “aponta” na direção e a componente relevante é exatamente .
Passo 3
Escrever o integral de linha à esquerda em termos de
.
- Se
está contida no plano , então para um parâmetro temos com . Assim Explicação: o produto escalar , e como estamos no plano const veiculamos somente as componentes .
Passo 4
Relacionar o que encontramos com o Teorema de Green em
e observar a orientação.
-
O Teorema de Green afirma (para curvas orientadas positivamente — isto é, orientação contrária ao relógio vista do lado do vetor normal
) que, para uma região adequada e , -
Note que este resultado é exatamente o que precisamos, porque do Passo 2 temos
e do Passo 3 o integral de linha é . Assim a igualdade do enunciado é uma forma do Teorema de Stokes reduzida ao caso planar — ou seja, é o Teorema de Green. -
Observação sobre orientação (importante na prova): tomar
e escolher orientada no sentido anti-horário (visto de cima, do lado positivo de ) garante compatibilidade com a convenção do Teorema de Stokes/Green. Se a orientação fosse oposta, surgiria um sinal menos.
Passo 5
Provar (ou relembrar a prova) do Teorema de Green para uma região simples — esta é a parte didática que te deixa capaz de reproduzir no exame.
-
Vamos considerar primeiro o caso em que
é uma região do tipo -simples: comcontínuas e . A fronteira é então composta por duas curvas acima e abaixo e duas verticalmente nas extremidades; orientação positiva é seguir da esquerda para a direita (topo), depois a borda direita de cima para baixo, depois da direita para a esquerda (fundo) e borda esquerda de baixo para cima. -
Primeiro calcule a integral dupla da derivada parcial
: Como integrando eme diferenciando em , podemos trocar ordem de operações aqui (hipótese ). Integrando em ao longo de nos leva — via o Teorema Fundamental do Cálculo aplicado a cada fixo — a obter diferenças de nas curvas verticais; manipulando os termos e somando as contribuições das bordas, mostra-se que esta integral dupla equivale à soma das contribuições da componente nas partes da fronteira horizontais com sinal adequado. Em termos práticos, um cálculo direto (ver detalhe abaixo) dá: e, após avaliar as integrais nas bordas verticais (que se cancelam conforme a orientação), restam apenas as integrais sobre o topo e o fundo que correspondem à partedo integral de linha. -
De modo análogo,corresponde à parte
do integral de linha (novamente, o sinal e orientação se acertam ao repetir o cálculo integrando primeiro em ou conforme conveniência). -
Somando as duas igualdades e organizando sinais obtemos exatamenteComentário prático: este cálculo é feito em muitos livros separando a fronteira em peças e aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo a cada peça; para regiões mais gerais que não sejam
-simples ou -simples, decompõe-se em um número finito de regiões simples e aplica-se linearidade.
Passo 6
Concluir a identidade pedida usando os passos anteriores.
-
Do Passo 3 temos
. -
Do Passo 2 temos
. -
Pelo Teorema de Green (Passo 5) as duas quantidades são iguais quando
é orientada positivamente em relação a . -
Portanto juntando tudo:que é exatamente o enunciado do Teorema de Stokes para este caso planar.