Determinar a distância entre o ponto \mathbf{A}(1,-1,2) e o eixo dos z .

Passo 1

O enunciado pede: determinar a distância entre o ponto \mathbf{A}(1,-1,2) e o eixo dos z.\n
Informações dadas:
\mathbf{A}=(1,-1,2).
O eixo dos z é o conjunto de pontos da forma (0,0,z), com z\in\mathbb{R}.

Passo 2

Ideia geométrica do que é a distância de um ponto a uma reta em 3D: é o comprimento do segmento mais curto que liga o ponto à reta — esse segmento é perpendicular à reta. Vou apresentar uma fórmula geral útil e explicar cada termo, porque é prática para a prova.\n
Fórmula geral (distância de um ponto P à reta que passa por P_0 com vetor diretor \mathbf{v}):
\text{dist}(P,\text{reta})=\frac{\| (P-P_0)\times \mathbf{v}\|}{\|\mathbf{v}\|}.
Explicação da fórmula (passo a passo, sem jargões):
  • P é o vetor posição do ponto cuja distância queremos (aqui \mathbf{A}).
  • P_0 é qualquer ponto da reta (para o eixo z podemos tomar P_0=(0,0,0), a origem).
  • \mathbf{v} é um vetor paralelo à reta (para o eixo z podemos usar \mathbf{v}=(0,0,1)).
  • O produto vetorial (P-P_0)\times \mathbf{v} tem magnitude igual à área do paralelogramo formado por P-P_0 e \mathbf{v}. Essa área vale base vezes altura, e a altura é precisamente a distância procurada. Dividindo pela norma de \mathbf{v} (a base) isolamos a altura.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso. Tomamos P=\mathbf{A}=(1,-1,2), P_0=(0,0,0) e \mathbf{v}=(0,0,1).\n
Calcule P-P_0:
P-P_0=(1,-1,2).
Calcule o produto vetorial (P-P_0)\times \mathbf{v}. Usando a regra
(a_1,a_2,a_3)\times(b_1,b_2,b_3)=(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1),
temos
(1,-1,2)\times(0,0,1)=(-1, -1, 0).
Agora a norma desse vetor:
\|(-1,-1,0)\|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+0^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
A norma de \mathbf{v} é
\|(0,0,1)\|=1.
Portanto, pela fórmula,
\text{dist}(\mathbf{A},\text{eixo }z)=\frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2}.

Passo 4

(Verificação alternativa, mais direta e intuitiva — bom para a prova.)\n
Um ponto qualquer do eixo z é (0,0,z_0). A distância entre \mathbf{A}=(1,-1,2) e (0,0,z_0) é
d(z_0)=\sqrt{(1-0)^2+(-1-0)^2+(2-z_0)^2}=\sqrt{2+(2-z_0)^2}.
Para minimizar d(z_0) em relação a z_0 basta minimizar o termo (2-z_0)^2, que é zero quando z_0=2. Assim o mínimo de d é \sqrt{2+0}=\sqrt{2}.\n
Interpretação geométrica: o segmento perpendicular menor liga \mathbf{A} ao ponto (0,0,2) do eixo; a parte vertical não contribui para a distância mínima, sobrando apenas a projeção horizontal com comprimento \sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}.

Resposta

\sqrt{2}

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