Determinar a distância entre o ponto
e o eixo dos z .
Passo 1
O enunciado pede: determinar a distância entre o ponto
e o eixo dos
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
O eixo dos
é o conjunto de pontos da forma
, com
.
Passo 2
Ideia geométrica do que é a distância de um ponto a uma reta em 3D: é o comprimento do segmento mais curto que liga o ponto à reta — esse segmento é perpendicular à reta. Vou apresentar uma fórmula geral útil e explicar cada termo, porque é prática para a prova.\n
Fórmula geral (distância de um ponto à reta que passa por
com vetor diretor
):
Fórmula geral (distância de um ponto
Explicação da fórmula (passo a passo, sem jargões):
-
é o vetor posição do ponto cuja distância queremos (aqui ). -
é qualquer ponto da reta (para o eixo podemos tomar , a origem). -
é um vetor paralelo à reta (para o eixo podemos usar ). - O produto vetorial
tem magnitude igual à área do paralelogramo formado por e . Essa área vale base vezes altura, e a altura é precisamente a distância procurada. Dividindo pela norma de (a base) isolamos a altura.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso. Tomamos
,
e
.\n
Calcule :
Calcule
Calcule o produto vetorial
. Usando a regra
temos
Agora a norma desse vetor:
A norma de
é
Portanto, pela fórmula,
Passo 4
(Verificação alternativa, mais direta e intuitiva — bom para a prova.)\n
Um ponto qualquer do eixo é
. A distância entre
e
é
Um ponto qualquer do eixo
Para minimizar
em relação a
basta minimizar o termo
, que é zero quando
. Assim o mínimo de
é
.\n
Interpretação geométrica: o segmento perpendicular menor liga ao ponto
do eixo; a parte vertical não contribui para a distância mínima, sobrando apenas a projeção horizontal com comprimento
.
Interpretação geométrica: o segmento perpendicular menor liga