Questão 15. Calcule os seguintes limites (envolvendo o número irracional e cong 2 , 7 1 8 2 ):
lim x -infty(1+2x)^x+3

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto -inftyl(1+2xr)^x+3
O conteúdo aqui é o limite do tipo (1+tfracax)^x, que sabemos convergir para e^a. Vamos usar essa ideia e também a propriedade de potência para separar o expoente.

Passo 2

Escrevemos
l(1+tfrac2xr)^x+3 =l(1+tfrac2xr)^x;l(1+tfrac2xr)^3

Passo 3

Analisamos
L1=limxto -inftyl(1+tfrac2xr)^x
Tomando logaritmo, ln L1=limxto -inftyxlnl(1+tfrac2xr). Para xto -infty vale
lnl(1+tfrac2xr)sim tfrac2x Longrightarrow xlnl(1+tfrac2xr)to 2
Logo L1=e^2.

Passo 4

Agora
L2=limxto -inftyl(1+tfrac2xr)^3 =l(limxto -infty(1+tfrac2x)r)^3 =1^3=1

Passo 5

Como o produto de limites existe, temos
limxto -inftyl(1+tfrac2xr)^x+3 =L1cdot L2 =e^2cdot 1 =e^2

Resposta

boxede^2

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