Questão 15. Calcule os seguintes limites (envolvendo o número irracional e cong 2 , 7 1 8 2 ):
lim x -infty(1-3x)^x

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto -inftyl(1 - tfrac3xr)^x
Essa expressão é uma indeterminação do tipo 1^infty. Vamos usar a técnica de transformar a potência em logaritmo para depois voltar ao exponencial.

Passo 2

Defina
f(x) = l(1 - tfrac3xr)^x
Então
ln f(x) = x,ln!l(1 - tfrac3xr)
Como xto -infty, temos tfrac-3xto0 e podemos usar a expansão ln(1+u)approx u para u pequeno:
ln!l(1 - tfrac3xr)sim -tfrac3x
Logo
ln f(x)sim xl(-tfrac3xr) = -3,
portanto
limxto -inftyln f(x) = -3

Passo 3

Retornando ao valor de f(x), temos
limxto -inftyf(x) = exp!l(limxto -inftyln f(x)r) = e^-3

Resposta

e^-3

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