Questão 15. Calcule os seguintes limites (envolvendo o número irracional e cong 2 , 7 1 8 2 ):
lim x +infty(1+4x)^3 x+6

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto+inftyl(1+tfrac4xr)^3x+6
Aqui o conteúdo é o limite exponencial do tipo (1+tfracax)^xto e^a. Vamos usar essa ideia para separar a potência e aplicar a definição de e.

Passo 2

Reescrevemos a expressão como produto de duas parcelas:
l(1+tfrac4xr)^3x+6 =l(1+tfrac4xr)^3x;cdot;l(1+tfrac4xr)^6

Passo 3

Analise a primeira parcela. Usando
limxto+inftyl(1+tfrac4xr)^x=e^4,
temos
limxto+inftyl(1+tfrac4xr)^3x =l(limxto+inftyl(1+tfrac4xr)^xr)^3 =(e^4)^3 =e^12

Passo 4

Agora analisamos a segunda parcela:
limxto+inftyl(1+tfrac4xr)^6 =1^6 =1,
pois tfrac4xto0 faz 1+tfrac4xto1.

Passo 5

Como o limite de um produto é o produto dos limites (quando existem e são finitos), juntamos os resultados:
limxto+inftyl(1+tfrac4xr)^3x+6 =l(e^12r)cdot1 =e^12

Resposta

boxede^12

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