Em cada item, descreva o elemento diferencial pedido.
Diferencial vetorial de uma integral sobre uma superfície em .
Passo 1
O enunciado pede que a gente descreva qual é o elemento diferencial vetorial usado numa integral de superfície em . Para isso, vamos usar a parametrização de uma superfície suave por dois parâmetros e a propriedade do produto vetorial de gerar um elemento de área orientado.
Passo 2
Suponha que a superfície seja dada por uma parametrização
com variando em alguma região . As derivadas parciais são e , que são vetores tangentes a .
Passo 3
O produto vetorial é um vetor normal à superfície, cujo módulo é igual à área do paralelogramo gerado pelos vetores tangentes. Assim, o elemento diferencial de área vetorial é
Passo 4
Se quisermos separar direção e módulo, definimos o versor normal
e o elemento escalar de área
dS = llvert partialu rtimespartialv rrrvert,du,dv
Então
d S = n,dS
Passo 5
Num caso especial em que a superfície é o gráfico de z=f(x,y), usamos r(x,y)=(x,y,f(x,y)), de modo que
partialx r = (1,0,fx), partialy r = (0,1,fy),
e
d S = l(partialx rtimespartialy rr),dx,dy = (-fx,,-fy,,1),dx,dy
Resposta
d S = l(partialu rtimespartialv rr),du,dv,
ou, equivalentemente, d S= n,dS