Em cada item, descreva o elemento diferencial pedido.
Diferencial vetorial de uma integral sobre uma superfície em R^3.

Passo 1

O enunciado pede que a gente descreva qual é o elemento diferencial vetorial usado numa integral de superfície em R^3. Para isso, vamos usar a parametrização de uma superfície suave por dois parâmetros e a propriedade do produto vetorial de gerar um elemento de área orientado.

Passo 2

Suponha que a superfície S seja dada por uma parametrização
r(u,v) = l(x(u,v),,y(u,v),,z(u,v)r),
com (u,v) variando em alguma região DsubsetR^2. As derivadas parciais são
partialu r e partialv r, que são vetores tangentes a S.

Passo 3

O produto vetorial partialu rtimespartialv r é um vetor normal à superfície, cujo módulo é igual à área do paralelogramo gerado pelos vetores tangentes. Assim, o elemento diferencial de área vetorial é
d S = l(partialu rtimespartialv rr),du,dv

Passo 4

Se quisermos separar direção e módulo, definimos o versor normal
n = partialu rtimespartialv r llvert partialu rtimespartialv rrrvert
e o elemento escalar de área
dS = llvert partialu rtimespartialv rrrvert,du,dv
Então
d S = n,dS

Passo 5

Num caso especial em que a superfície é o gráfico de z=f(x,y), usamos r(x,y)=(x,y,f(x,y)), de modo que
partialx r = (1,0,fx), partialy r = (0,1,fy),
e
d S = l(partialx rtimespartialy rr),dx,dy = (-fx,,-fy,,1),dx,dy

Resposta

d S = l(partialu rtimespartialv rr),du,dv,
ou, equivalentemente, d S= n,dS

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