Questão 15. (Cálculo de Limites)
Seja
f(x)=ll x^2+1, & se x<1 (x-2)^2, & se x >= 1
a) Encontre lim x -1^+ f(x)
b) Encontre lim x -1^- f(x)
c) lim x 1 f(x) existe?
d) Esboce o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= x^2+1, & x<1, (x-2)^2, & x>=1,
e pede (a) o limite de f quando xto-1^+, (b) quando xto-1^-, (c) se limxto1f(x) existe, e (d) o esboço do gráfico. Para resolver isso, vamos usar definição de limites laterais em funções definidas por partes, critério de existência de limite (igualdade das laterais) e, por fim, montar o gráfico de cada ramo.

Passo 2

Para limxto-1^+f(x), temos x se aproximando de -1 pela direita, sempre com x<1. Logo vale o ramo
f(x)=x^2+1
e, ao fazer xto-1,
limxto-1^+f(x)=(-1)^2+1=2

Passo 3

Para limxto-1^-f(x) a aproximação é pela esquerda, mas também com x<1. Assim continua valendo
f(x)=x^2+1
e
limxto-1^-f(x)=(-1)^2+1=2

Passo 4

Para limxto1f(x) comparamos as duas laterais:
– Lateral à esquerda ( xto1^-, ramo x^2+1):
limxto1^-f(x)=1^2+1=2
– Lateral à direita ( xto1^+, ramo (x-2)^2):
limxto1^+f(x)=(1-2)^2=1
Como 2neq1, o limite em x=1 não existe.

Passo 5

Esboço do gráfico de f:
– Para x<1: parábola deslocada para cima
y=x^2+1,
até chegar em x=1 com ponto aberto em (1,2).
– Para x>=1: parábola
y=(x-2)^2,
com ponto fechado em (1,1) e vértice em (2,0), abrindo para cima.

Resposta

a) 2
b) 2
c) Não existe.
d) Gráfico com dois ramos:
y=x^2+1 para x<1 (ponto aberto em (1,2)).
y=(x-2)^2 para x>=1 (ponto fechado em (1,1), vértice em (2,0)).

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