Calcule os limites
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite aí que é o seguinte: estamos querendo calcular quando
se aproxima de 2 para a expressão
O conteúdo envolvido aqui é o de limites, mais especificamente limites envolvendo raízes cúbicas. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão para simplificar e evitar indeterminações.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos
diretamente na expressão. Se fizermos isso, teremos:
Numerador:
Denominador:
Então, temos uma indeterminação do tipo
, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Para resolver essa indeterminação, vamos usar a substituição
, onde
se aproxima de 0 quando
se aproxima de 2. Assim, podemos reescrever
e expandir a expressão em termos de
.
Vamos reescrever o numerador e o denominador em função de
:
Numerador:
Denominador:
Passo 4
Agora, vamos expandir as expressões dentro das raízes cúbicas:
Numerador:
Então:
Portanto:
Denominador:
Então:
Portanto:
Passo 5
Agora, observamos que quando
se aproxima de 0, as expressões dentro das raízes cúbicas se aproximam de -1 e 1, respectivamente. Podemos usar a expansão em série de Taylor para aproximação de raízes cúbicas perto de um ponto específico.
A aproximação para
perto de
é:
Aplicando isso ao numerador e denominador:
Para o numerador (
):
Como
, então:
Logo, o numerador fica:
Para o denominador (
):
Logo, o denominador fica:
Passo 6
Agora, substituímos as aproximações no limite original:
Resposta
O limite é
.