Calcule os limites
lim x 2 raiz[3]3 x^2-7 x+1+1raiz[3]2 x^2-5 x+3-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite aí que é o seguinte: estamos querendo calcular quando x se aproxima de 2 para a expressão
raiz[3]3 x^2-7 x+1+1raiz[3]2 x^2-5 x+3-1
O conteúdo envolvido aqui é o de limites, mais especificamente limites envolvendo raízes cúbicas. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão para simplificar e evitar indeterminações.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos x = 2 diretamente na expressão. Se fizermos isso, teremos:
Numerador:
raiz[3]3(2)^2 - 7(2) + 1 + 1 = raiz[3]12 - 14 + 1 + 1 = raiz[3]-1 + 1 = -1 + 1 = 0
Denominador:
raiz[3]2(2)^2 - 5(2) + 3 - 1 = raiz[3]8 - 10 + 3 - 1 = raiz[3]1 - 1 = 1 - 1 = 0
Então, temos uma indeterminação do tipo 00 , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para resolver essa indeterminação, vamos usar a substituição h = x - 2 , onde h se aproxima de 0 quando x se aproxima de 2. Assim, podemos reescrever x = 2 + h e expandir a expressão em termos de h .
Vamos reescrever o numerador e o denominador em função de h :
Numerador:
raiz[3]3(2 + h)^2 - 7(2 + h) + 1 + 1
Denominador:
raiz[3]2(2 + h)^2 - 5(2 + h) + 3 - 1

Passo 4

Agora, vamos expandir as expressões dentro das raízes cúbicas:
Numerador:
3(2 + h)^2 = 3(4 + 4h + h^2) = 12 + 12h + 3h^2
-7(2 + h) = -14 - 7h
Então:
3x^2 - 7x + 1 = 12 + 12h + 3h^2 - 14 - 7h + 1 = (12 - 14 + 1) + (12h - 7h) + 3h^2 = -1 + 5h + 3h^2
Portanto:
raiz[3]-1 + 5h + 3h^2 + 1
Denominador:
2(2 + h)^2 = 2(4 + 4h + h^2) = 8 + 8h + 2h^2
-5(2 + h) = -10 - 5h
Então:
2x^2 - 5x + 3 = 8 + 8h + 2h^2 - 10 - 5h + 3 = (8 - 10 + 3) + (8h - 5h) + 2h^2 = 1 + 3h + 2h^2
Portanto:
raiz[3]1 + 3h + 2h^2 - 1

Passo 5

Agora, observamos que quando h se aproxima de 0, as expressões dentro das raízes cúbicas se aproximam de -1 e 1, respectivamente. Podemos usar a expansão em série de Taylor para aproximação de raízes cúbicas perto de um ponto específico.
A aproximação para raiz[3]a + b h + c h^2 perto de h = 0 é:
raiz[3]a + b h3 a^2/3 + c h^23 a^2/3 - b^2 h^29 a^5/3
Aplicando isso ao numerador e denominador:
Para o numerador ( a = -1 ):
raiz[3]-1 + 5h + 3h^2 approx -1 + 5h3(-1)^2/3 + termos de ordem superior
Como (-1)^2/3 = 1 , então:
approx -1 + 5h3
Logo, o numerador fica:
-1 + 5h3 + 1 = 5h3
Para o denominador ( a = 1 ):
raiz[3]1 + 3h + 2h^2 approx 1 + 3h3(1)^2/3 + termos de ordem superior
approx 1 + h
Logo, o denominador fica:
1 + h - 1 = h

Passo 6

Agora, substituímos as aproximações no limite original:
limh to 0 5h3h = limh to 0 53 = 53

Resposta

O limite é 53 .

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