QUESTÃO 15

Cinco casas consecutivas em uma rua possuem cinco cores diferentes em suas fachadas frontais, sendo uma amarela, uma azul, uma branca, uma marrom e uma rosa. A rua é uma ladeira íngreme e a casa da fachada amarela não é a localizada no ponto mais alto da rua. A casa da fachada branca fica entre a casa da fachada rosa e a casa da fachada azul. A casa da fachada marrom fica no ponto mais baixo da rua.
Quantas possibilidades diferentes de posição existem para a casa da fachada rosa?
a) 1 .
b) 2 .
c) 3 .
d) 4 .
e) 5 .

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede.
  • Há cinco casas em posições consecutivas ao longo de uma ladeira — existe um ponto mais alto e um ponto mais baixo. Vou numerar as posições da rua por \,1 (ponto mais alto) até \,5 (ponto mais baixo).
  • As fachadas têm cinco cores distintas: amarela, azul, branca, marrom e rosa.
  • Informações dadas:
    • A casa de fachada marrom fica no ponto mais baixo da rua. (peguei isto do enunciado)
    • A casa de fachada amarela não é a localizada no ponto mais alto da rua. (peguei isto do enunciado)
    • A casa de fachada branca fica entre a casa da fachada rosa e a casa da fachada azul. (peguei isto do enunciado)
  • O que o enunciado pede: determinar quantas posições diferentes podem ser ocupadas pela casa da fachada rosa, ou seja, quantos valores possíveis de posição existem para a casa rosa, respeitando todas as restrições.
Observações de interpretação que uso sem resolver ainda:
  • Vou chamar de “entre” o sentido estrito: a posição da casa branca deve estar estritamente entre as posições da casa rosa e da casa azul (isto é, se a rosa está em \,i e a azul em \,j, então a branca está em alguma posição k tal que i<k<j ou j<k<i). Não exige ser imediatamente ao lado, apenas estar no meio na ordem linear.
  • Como a marrom está em \,5, restam as posições \,1,2,3,4 para as cores rosa, azul, branca e amarela. A amarela não pode ocupar \,1.

Passo 2

Plano de ataque (sem resolver formalmente ainda): vou testar as possíveis posições da casa rosa entre \,1 e \,4 (porque \,5 já é marrom) e verificar, para cada posição escolhida para a rosa, se existe arranjo das outras três casas (branca, azul e amarela) nas posições restantes que satisfaça a condição “branca entre rosa e azul” e a proibição "amarela não em \,1". Se existir pelo menos um arranjo válido, essa posição da rosa é possível. Vou fazer isso por caso para \,p=1,2,3,4.

Passo 3

Caso \,p=1 (rosa em \,1):
  • Posições livres para azul, branca e amarela: \,2,3,4.
  • A branca tem de ficar entre rosa e azul. Como a rosa está em \,1, a azul precisa estar em alguma posição maior que a branca, e a branca em alguma posição entre \,1 e a posição da azul. Como as posições \,2,3,4 formam uma sequência, é sempre possível escolher uma posição para a azul maior que a branca (por exemplo, azul em \,3 e branca em \,2, ou azul em \,4 e branca em \,2 ou \,3). Portanto existem arranjos com branca entre rosa e azul.
  • A amarela ocuparia a posição restante; como a rosa já está em \,1, a amarela não estará em \,1 — logo, a restrição da amarela está satisfeita.
    Conclusão: \,p=1 é possível.

Passo 4

Caso \,p=2 (rosa em \,2):
  • Posições livres para azul, branca e amarela: \,1,3,4.
  • A branca precisa ficar entre rosa e azul. Há duas possibilidades para a posição da azul:
    • Se azul estiver à esquerda de rosa, só há a posição \,1 como opção. Mas entre \,1 e \,2 não existe posição inteira onde colocar a branca (não há número inteiro estritamente entre \,1 e \,2), então azul não pode ficar em \,1.
    • Se azul estiver à direita de rosa, deve estar em \,3 ou \,4. Se azul em \,3, não existe posição inteira entre \,2 e \,3 para a branca. Se azul em \,4, a branca teria que ficar em \,3 (única posição entre \,2 e \,4), o que é possível.
  • No caso viável (azul em \,4, branca em \,3), a posição restante para a amarela seria \,1. Mas isso viola a restrição “amarela não é a localizada no ponto mais alto ( \,1)”.
    Conclusão: Não existe arranjo que satisfaça todas as condições com rosa em \,2. Portanto \,p=2 é impossível.

Passo 5

Caso \,p=3 (rosa em \,3):
  • Posições livres para azul, branca e amarela: \,1,2,4.
  • Para ter branca entre rosa e azul, duas subcasos:
    • Se azul estiver à direita de rosa (em \,4), então não existe posição inteira entre \,3 e \,4 para a branca — impossível.
    • Se azul estiver à esquerda de rosa (em \,1 ou \,2):
      • Se azul em \,2, não há posição entre \,2 e \,3 para a branca — impossível.
      • Se azul em \,1, então a branca pode ficar em \,2 (única posição entre \,1 e \,3) — possível.
  • No arranjo viável (azul em \,1, branca em \,2, rosa em \,3), a amarela fica em \,4, que não é a posição \,1, então cumpre a restrição.
    Conclusão: \,p=3 é possível.

Passo 6

Caso \,p=4 (rosa em \,4):
  • Posições livres para azul, branca e amarela: \,1,2,3.
  • A azul deve estar em alguma posição menor que \,4 e a branca em uma posição estritamente entre a posição da azul e \,4.
  • Testando opções para azul:
    • Azul em \,1: então branca pode ser \,2 ou \,3 (ambas ficam entre \,1 e \,4). Em cada uma dessas escolhas a amarela ocuparia a posição restante ( \,3 ou \,2), que não é \,1. Esses arranjos são válidos.
    • Azul em \,2: então a branca teria que ficar em \,3 (única entre \,2 e \,4), e a amarela ficaria em \,1 — mas isso viola "amarela não em \,1". Portanto azul em \,2 não dá solução válida.
    • Azul em \,3: não há posição entre \,3 e \,4 para a branca — impossível.
  • Conclusão: existem arranjos válidos (por exemplo azul em \,1, branca em \,2, rosa em \,4, amarela em \,3), então \,p=4 é possível.

Passo 7

Resumo dos resultados por posição testada:
  • \,p=1: possível.
  • \,p=2: impossível.
  • \,p=3: possível.
  • \,p=4: possível.
    Lembrando que \,p=5 não está disponível porque a casa marrom ocupa \,5.
Portanto existem exatamente três posições possíveis para a casa da fachada rosa.

Resposta

3

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