QUESTÃO 15
Cinco casas consecutivas em uma rua possuem cinco cores diferentes em suas fachadas frontais, sendo uma amarela, uma azul, uma branca, uma marrom e uma rosa. A rua é uma ladeira íngreme e a casa da fachada amarela não é a localizada no ponto mais alto da rua. A casa da fachada branca fica entre a casa da fachada rosa e a casa da fachada azul. A casa da fachada marrom fica no ponto mais baixo da rua.
Quantas possibilidades diferentes de posição existem para a casa da fachada rosa?
a) 1 .
b) 2 .
c) 3 .
d) 4 .
e) 5 .
a) 1 .
b) 2 .
c) 3 .
d) 4 .
e) 5 .
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede.
- Há cinco casas em posições consecutivas ao longo de uma ladeira — existe um ponto mais alto e um ponto mais baixo. Vou numerar as posições da rua por
(ponto mais alto) até (ponto mais baixo). - As fachadas têm cinco cores distintas: amarela, azul, branca, marrom e rosa.
- Informações dadas:
- A casa de fachada marrom fica no ponto mais baixo da rua. (peguei isto do enunciado)
- A casa de fachada amarela não é a localizada no ponto mais alto da rua. (peguei isto do enunciado)
- A casa de fachada branca fica entre a casa da fachada rosa e a casa da fachada azul. (peguei isto do enunciado)
- O que o enunciado pede: determinar quantas posições diferentes podem ser ocupadas pela casa da fachada rosa, ou seja, quantos valores possíveis de posição existem para a casa rosa, respeitando todas as restrições.
Observações de interpretação que uso sem resolver ainda:
- Vou chamar de “entre” o sentido estrito: a posição da casa branca deve estar estritamente entre as posições da casa rosa e da casa azul (isto é, se a rosa está em
e a azul em , então a branca está em alguma posição tal que ou ). Não exige ser imediatamente ao lado, apenas estar no meio na ordem linear. - Como a marrom está em
, restam as posições para as cores rosa, azul, branca e amarela. A amarela não pode ocupar .
Passo 2
Plano de ataque (sem resolver formalmente ainda): vou testar as possíveis posições da casa rosa entre
e
(porque
já é marrom) e verificar, para cada posição escolhida para a rosa, se existe arranjo das outras três casas (branca, azul e amarela) nas posições restantes que satisfaça a condição “branca entre rosa e azul” e a proibição "amarela não em
". Se existir pelo menos um arranjo válido, essa posição da rosa é possível. Vou fazer isso por caso para
.
Passo 3
Caso
(rosa em
):
- Posições livres para azul, branca e amarela:
. - A branca tem de ficar entre rosa e azul. Como a rosa está em
, a azul precisa estar em alguma posição maior que a branca, e a branca em alguma posição entre e a posição da azul. Como as posições formam uma sequência, é sempre possível escolher uma posição para a azul maior que a branca (por exemplo, azul em e branca em , ou azul em e branca em ou ). Portanto existem arranjos com branca entre rosa e azul. - A amarela ocuparia a posição restante; como a rosa já está em
, a amarela não estará em — logo, a restrição da amarela está satisfeita.
Conclusão:é possível.
Passo 4
Caso
(rosa em
):
- Posições livres para azul, branca e amarela:
. - A branca precisa ficar entre rosa e azul. Há duas possibilidades para a posição da azul:
- Se azul estiver à esquerda de rosa, só há a posição
como opção. Mas entre e não existe posição inteira onde colocar a branca (não há número inteiro estritamente entre e ), então azul não pode ficar em . - Se azul estiver à direita de rosa, deve estar em
ou . Se azul em , não existe posição inteira entre e para a branca. Se azul em , a branca teria que ficar em (única posição entre e ), o que é possível.
- Se azul estiver à esquerda de rosa, só há a posição
- No caso viável (azul em
, branca em ), a posição restante para a amarela seria . Mas isso viola a restrição “amarela não é a localizada no ponto mais alto ( )”.
Conclusão: Não existe arranjo que satisfaça todas as condições com rosa em. Portanto é impossível.
Passo 5
Caso
(rosa em
):
- Posições livres para azul, branca e amarela:
. - Para ter branca entre rosa e azul, duas subcasos:
- Se azul estiver à direita de rosa (em
), então não existe posição inteira entre e para a branca — impossível. - Se azul estiver à esquerda de rosa (em
ou ): - Se azul em
, não há posição entre e para a branca — impossível. - Se azul em
, então a branca pode ficar em (única posição entre e ) — possível.
- Se azul em
- Se azul estiver à direita de rosa (em
- No arranjo viável (azul em
, branca em , rosa em ), a amarela fica em , que não é a posição , então cumpre a restrição.
Conclusão:é possível.
Passo 6
Caso
(rosa em
):
- Posições livres para azul, branca e amarela:
. - A azul deve estar em alguma posição menor que
e a branca em uma posição estritamente entre a posição da azul e . - Testando opções para azul:
- Azul em
: então branca pode ser ou (ambas ficam entre e ). Em cada uma dessas escolhas a amarela ocuparia a posição restante ( ou ), que não é . Esses arranjos são válidos. - Azul em
: então a branca teria que ficar em (única entre e ), e a amarela ficaria em — mas isso viola "amarela não em ". Portanto azul em não dá solução válida. - Azul em
: não há posição entre e para a branca — impossível.
- Azul em
- Conclusão: existem arranjos válidos (por exemplo azul em
, branca em , rosa em , amarela em ), então é possível.
Passo 7
Resumo dos resultados por posição testada:
-
: possível. -
: impossível. -
: possível. -
: possível.
Lembrando quenão está disponível porque a casa marrom ocupa .
Portanto existem exatamente três posições possíveis para a casa da fachada rosa.