QUESTÃO 10
Em uma caixa com formato de paralelepípedo reto e com dimensões internas de 50 \mathrm{~cm} \times 40 \mathrm{~cm} \times 30 \mathrm{~cm} serão guardados, sem desperdício de espaço, livretos todos eles também em formato de paralelepípedo reto. Cada livreto possui espessura de 2 cm , capa e páginas com dimensões iguais a 15 cm e 10 cm , respectivamente.
Nessas condições, é correto afirmar que a quantidade máxima de livretos que podem ser acomodados no interior dessa caixa é:
a) 150.
b) 180.
c) 200.
d) 220.
e) 250.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede, sem resolver nada ainda.
  • A caixa tem dimensões internas \,50\\ \mathrm{cm}\times40\\ \mathrm{cm}\times30\\ \mathrm{cm}.
  • Cada livreto é um paralelepípedo com dimensões (espessura, lados da capa/páginas): \,2\\ \mathrm{cm}, \,15\\ \mathrm{cm} e \,10\\ \mathrm{cm}. Ou seja, as três arestas do livreto são \,2\\ \mathrm{cm}, \,15\\ \mathrm{cm} e \,10\\ \mathrm{cm}.
  • O enunciado pede a quantidade máxima de livretos que podem ser acomodados “sem desperdício de espaço” dentro da caixa.
  • Pressuposição razoável (retirada do enunciado): os livretos devem ser colocados alinhados (faces paralelas às faces da caixa) e podemos escolher qualquer orientação (rodar os livretos), mas não podemos amassá‑los nem sobrepor de forma não ortogonal.

Passo 2

Ideia prática usada para contar quantos cabem (aula rápida e intuitiva).
  • Quando empilhamos paralelepípedos idênticos dentro de uma caixa alinhada, em cada dimensão contamos quantos desses paralelepípedos cabem inteiros, isto é, fazemos uma divisão inteira (arredondando para baixo).
  • Formalmente, se numa dada orientação os comprimentos do livreto alinhados com as arestas da caixa forem \,a, \,b, \,c e as dimensões da caixa forem \,A, \,B, \,C, então o número de livretos nessa orientação é
\left\lfloor\frac{A}{a}\right\rfloor\cdot\left\lfloor\frac{B}{b}\right\rfloor\cdot\left\lfloor\frac{C}{c}\right\rfloor,
onde \lfloor x\rfloor significa a parte inteira de x (maior inteiro \le x). Isso existe porque só podemos colocar um número inteiro de livretos em cada fila/coluna/espessura.
  • Como o livreto tem três arestas distintas, existem 3! = 6 orientações possíveis (todas as permutações de \,2,\;15,\;10). Para achar o máximo devemos testar as seis e escolher a maior.

Passo 3

Vou testar a primeira orientação: alinhar \,15 com 50, \,10 com 40, \,2 com 30.
  • Contagens em cada dimensão:
\left\lfloor\frac{50}{15}\right\rfloor=\left\lfloor 3,\overline{3}\right\rfloor=3, \qquad \left\lfloor\frac{40}{10}\right\rfloor=\left\lfloor 4\right\rfloor=4, \qquad \left\lfloor\frac{30}{2}\right\rfloor=\left\lfloor 15\right\rfloor=15.
  • Total:
3\cdot 4\cdot 15=180.

Passo 4

Segunda orientação: alinhar \,15 com 50, \,2 com 40, \,10 com 30.
  • Contagens:
\left\lfloor\frac{50}{15}\right\rfloor=3, \qquad \left\lfloor\frac{40}{2}\right\rfloor=\left\lfloor 20\right\rfloor=20, \qquad \left\lfloor\frac{30}{10}\right\rfloor=\left\lfloor 3\right\rfloor=3.
  • Total:
3\cdot 20\cdot 3=180.

Passo 5

Terceira orientação: alinhar \,10 com 50, \,15 com 40, \,2 com 30.
  • Contagens:
\left\lfloor\frac{50}{10}\right\rfloor=\left\lfloor 5\right\rfloor=5, \qquad \left\lfloor\frac{40}{15}\right\rfloor=\left\lfloor 2,\overline{6}\right\rfloor=2, \qquad \left\lfloor\frac{30}{2}\right\rfloor=15.
  • Total:
5\cdot 2\cdot 15=150.

Passo 6

Quarta orientação: alinhar \,10 com 50, \,2 com 40, \,15 com 30.
  • Contagens:
\left\lfloor\frac{50}{10}\right\rfloor=5, \qquad \left\lfloor\frac{40}{2}\right\rfloor=20, \qquad \left\lfloor\frac{30}{15}\right\rfloor=\left\lfloor 2\right\rfloor=2.
  • Total:
5\cdot 20\cdot 2=200.

Passo 7

Quinta orientação: alinhar \,2 com 50, \,15 com 40, \,10 com 30.
  • Contagens:
\left\lfloor\frac{50}{2}\right\rfloor=\left\lfloor 25\right\rfloor=25, \qquad \left\lfloor\frac{40}{15}\right\rfloor=2, \qquad \left\lfloor\frac{30}{10}\right\rfloor=3.
  • Total:
25\cdot 2\cdot 3=150.

Passo 8

Sexta orientação: alinhar \,2 com 50, \,10 com 40, \,15 com 30.
  • Contagens:
\left\lfloor\frac{50}{2}\right\rfloor=25, \qquad \left\lfloor\frac{40}{10}\right\rfloor=4, \qquad \left\lfloor\frac{30}{15}\right\rfloor=2.
  • Total:
25\cdot 4\cdot 2=200.

Passo 9

Comparação final entre as seis orientações testadas. Os totais encontrados foram:
\,180,\;180,\;150,\;200,\;150,\;200.
O maior valor é \,200.

Resposta

200

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