Questão 1.

(15 P.) Considere a função f=f(x) definida no intervalo [-1,1] pela expressão f(x)=\left\{\begin{aligned} 1, & -1 \leq x<-\frac{1}{2} \\\\ -1, & -\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2} \\\\ 1, & \frac{1}{2}<x \leq 1\end{aligned}\right..
(a) Esboce o gráfico da série de Fourier de f no intervalo [-3,3].
(b) Calcule a série de Fourier de f.
(c) Escreva três somas parciais de Fourier de f por extenso, sem usar o sinal \sum.
(d) Quanto vale a série de Fourier de f no ponto x=10 ? E no ponto x=\frac{21}{2} ? Por quê?
(e) Determine a função g, definida no intervalo [-1,1], que coincide no intervalo (0,1] com a função f e tal que sua série de Fourier contém apenas senos. Aqui sua resposta pode ser a expressão de g ou um esboço de seu gráfico.

Passo 1

O enunciado define a função \,f\colon[-1,1]\to\{-1,1\}\) por \[f(x)= \begin{cases} 1,&-1\le x<-\tfrac12,\\\\ -1,&-\tfrac12\le x\le\tfrac12,\\\\ 1,&\tfrac12< x\le1, \end{cases}
e pede
(a) esboçar o gráfico de sua série de Fourier em [-3,3]\], (b) calcular a série de Fourier, \text{(c)} escrever três somas parciais sem usar \(\sum,
(d) avaliar a série em x=10 e x=\tfrac{21}{2},
(e) encontrar uma função g em [-1,1] que coincida com f em (0,1] e cuja série tenha só termos senoidais.
Vamos precisar usar extensão periódica de período 2, integração de funções ímpares/pares e fórmulas de coeficientes de Fourier em [-1,1].

Passo 2

A série de Fourier de f em [-1,1] define sua extensão periódica de período 2. No eixo [-3,3] cabem três períodos consecutivos. Em cada período de comprimento 2 temos:
– Em cada intervalo \bigl[2k-1,\;2k-\tfrac12\bigr) o valor é 1.
– Em cada intervalo \bigl[2k-\tfrac12,\;2k+\tfrac12\bigr] o valor é -1.
– Em cada intervalo \bigl(2k+\tfrac12,\;2k+1\bigr] o valor volta a ser 1.
Assim, o gráfico em [-3,3] é um “quadrado” de amplitude \pm1 com saltos em x=\dots,-\tfrac52,-\tfrac12,\tfrac12,\tfrac52,\dots.

Passo 3

Como f é par, só aparecem coeficientes a_n em
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(n\pi x),\quad a_n=\int_{-1}^1f(x)\cos(n\pi x)\,dx.
Calculamos
a_0=\int_{-1}^1f(x)\,dx =\bigl(0{,}5+0{,}5\bigr)\cdot1-1\cdot1=0,
a_n=2\int_{0}^1f(x)\cos(n\pi x)\,dx =2\Bigl[\int_{\tfrac12}^{1}1\cdot\cos(n\pi x)\,dx-\int_{0}^{\tfrac12}1\cdot\cos(n\pi x)\,dx\Bigr] =-\frac{4}{n\pi}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr).
Portanto a série de Fourier é
\boxed{ f(x) =\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(n\pi x), \quad a_n=-\frac{4}{n\pi}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr), }
ou, usando só termos não nulos ( n ímpar),
\boxed{ f(x) =-\frac{4}{\pi}\cos(\pi x) +\frac{4}{3\pi}\cos(3\pi x) -\frac{4}{5\pi}\cos(5\pi x) +\cdots. }

Passo 4

As três primeiras somas parciais são
S_{1}(x) =-\tfrac{4}{\pi}\cos(\pi x),
S_{2}(x) =-\tfrac{4}{\pi}\cos(\pi x) +\tfrac{4}{3\pi}\cos(3\pi x),
S_{3}(x) =-\tfrac{4}{\pi}\cos(\pi x) +\tfrac{4}{3\pi}\cos(3\pi x) -\tfrac{4}{5\pi}\cos(5\pi x).

Passo 5

Para x=10, como a série é periódica de período 2, temos 10\equiv0\pmod2. Como f é contínua em 0 (vale -1 ali), a série converge a
f(0)=-1.
Para x=\tfrac{21}{2}=10{,}5, temos 10{,}5\equiv\tfrac12\pmod2, e aí x cai num ponto de salto f pula de -1 para 1. A série de Fourier converge à média dos limites laterais,
\frac{-1+1}{2}=0.

Passo 6

Queremos g\) em \([-1,1]\) que coincida com \(f\) em \((0,1]\) e seja ímpar, pois assim só aparecem senos na série. Basta definir \[g(x)= \begin{cases} -f(-x),&-1\le x<0,\\\\ 0,&x=0,\\\ f(x),&0<x\le1. \end{cases}
Em particular, de forma explícita,
g(x)= \begin{cases} -1,&-1\le x<-\tfrac12,\\\\ 1,&-\tfrac12<x<0,\\\\ 0,&x=0,\\\\ -1,&0<x\le\tfrac12,\\\\ 1,&\tfrac12<x\le1, \end{cases}
que coincide com f\] em \((0,1] e é ímpar.

Resposta

(a) Gráfico periódico de período 2\) com valor \(1\) em cada \(\bigl[2k-1,2k-\tfrac12\bigr)\) e \(\bigl(2k+\tfrac12,2k+1\bigr]\), valor \(-1\) em \(\bigl[2k-\tfrac12,2k+\tfrac12\bigr]\), para \(k=-1,0,1\), de \([-3,3]\). (b) \[f(x) =-\frac{4}{\pi}\cos(\pi x) +\frac{4}{3\pi}\cos(3\pi x) -\frac{4}{5\pi}\cos(5\pi x) +\cdots,
ou, em forma geral, a_n=-\tfrac{4}{n\pi}\sin(\tfrac{n\pi}{2}).
(c)
S_{1}(x)=-\tfrac{4}{\pi}\cos(\pi x), \quad S_{2}(x)=-\tfrac{4}{\pi}\cos(\pi x)+\tfrac{4}{3\pi}\cos(3\pi x),
S_{3}(x)=-\tfrac{4}{\pi}\cos(\pi x)+\tfrac{4}{3\pi}\cos(3\pi x) -\tfrac{4}{5\pi}\cos(5\pi x).
(d)
S(x)\big|_{x=10}=-1, \qquad S(x)\big|_{x=\tfrac{21}{2}}=0.
(e)
g(x)= \begin{cases} -f(-x),&x<0,\\\\ 0,&x=0,\\\ f(x),&x>0, \end{cases}
i.e.\ g\] ímpar que coincide com \(f em (0,1], de modo que sua série de Fourier contém só termos em \sin(n\pi x).

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