Considere os intervalos A=[-1,5], B=\{x \in \mathbf{R} \mid x \geq 3\} e C=(-\infty, 1). Encontre
(a) A \cup B. Gabarito: [-1, \infty)
(b) A \cup B \cap C. Gabarito: \{x \in \mathbf{R} \mid-1 \leq x<1\}.
(c) A-B. Gabarito: (3,5]
(d) B \cup C Gabarito: (-\infty, 1) \cap[3, \infty).
(e) A \cap C \cup B. Gabarito: [-1,1) \cup[3, \infty)

Passo 1

O enunciado dá três subconjuntos de \mathbb{R}:
A = [-1,5],\quad B = \{x\in\mathbb{R}\mid x\ge3\}=[3,\infty),\quad C = (-\infty,1).
Vamos usar as definições:
  • X\cup Y = \{x\mid x\in X\\ \text{ou}\\ x\in Y\}.
  • X\cap Y = \{x\mid x\in X\\ \text{e}\\ x\in Y\}.
  • X - Y = \{x\mid x\in X\\ \text{e}\\ x\notin Y\}.
    Atenção à precedência: em geral faz-se \cap antes de \cup, mas no item (b) o gabarito sugere interpretar como (A\cup B)\cap C.

Passo 2

Calcular A \cup B.
Temos
A = [-1,5],\quad B=[3,\infty).
A união pega todos os pontos de -1 até 5, e continua sem fim desde 3. Logo
A\cup B = [-1,\infty).

Passo 3

Calcular (interpretação conforme gabarito)
(A\cup B)\cap C = [-1,\infty)\,\cap\,(-\infty,1).
A interseção é o conjunto de x tais que -1\le x<1. Portanto
(A\cup B)\cap C = \{x\in\mathbb{R}\mid -1\le x<1\}.

Passo 4

Calcular
A - B = A\cap B^{c} = [-1,5]\;\cap\;(-\infty,3).
Isso corresponde a todos os x com -1\le x<3. Então
A - B = [-1,3).

Passo 5

Calcular
B\cup C = [3,\infty)\;\cup\;(-\infty,1).
A união pega tudo abaixo de 1 e tudo a partir de 3. Logo
B\cup C = (-\infty,1)\,\cup\,[3,\infty).

Passo 6

Calcular
(A\cap C)\cup B = \bigl([-1,5]\cap(-\infty,1)\bigr)\;\cup\;[3,\infty).
Primeiro
A\cap C = [-1,5]\cap(-\infty,1) = [-1,1),
depois a união com B
(A\cap C)\cup B = [-1,1)\,\cup\,[3,\infty).

Resposta

(a) [-1,\infty)
(b) \{x\in\mathbb{R}\mid -1\le x<1\}
(c) [-1,3)
(d) (-\infty,1)\,\cup\,[3,\infty)
(e) [-1,1)\,\cup\,[3,\infty)

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