Seja T o operador linear sobre R^3 que é representado pela matriz
[ccc 3 & 1 & -1 2 & 2 & -1 2 & 2 & 0 ]
em relação à base ordenada canônica. Mostrar que existe um operador diagonalizável D sobre R^3 e um operador nilpotente N sobre R^3 tais que T=D+N e D N=N D. Determinar as matrizes de D e N em relação à base canônica.

Passo 1

O enunciado nos dá o operador linear TcolonR^3toR^3 cuja matriz, na base canônica, é
A= 3 & 1 & -1 2 & 2 & -1 2 & 2 & 0
Queremos aplicar a decomposição de Jordan–Chevalley (ou decomposição semissimples + nilpotente): escrever
T = D + N,
onde D é diagonalizável, N é nilpotente, DN=ND, e determinar as matrizes de D e N na base canônica.

Passo 2

Primeiro encontramos o polinômio característico de A.
chiA(lambda)=det(A-lambda I) =-l(lambda^3-5lambda^2+8lambda-4r) =-(lambda-1)(lambda-2)^2
Logo os autovalores são lambda1=1 (simples) e lambda2=2 (multiplicidade 2).

Passo 3

Na decomposição semissimple s+nilpotente, a parte semissimple D e a parte nilpotente N são polinômios em T. O projetor espectral em lambda=1 é
P1 = (T-2I)^2,
pois (lambda-2)^2l|,lambda=1!=1 e (lambda-2)^2l|,lambda=2!=0. Em seguida
D = 1cdot P1 ;+;2l(I-P1r) =2I - P1,
N = T - D

Passo 4

Vamos calcular P1=(A-2I)^2. Primeiro
B = A-2I = 1 & 1 & -1 2 & 0 & -1 2 & 2 & -2 ,
P1 = B^2 = 1 & -1 & 0 0 & 0 & 0 2 & -2 & 0

Passo 5

Então
D = 2I - P1 =;21&0&00&1&00&0&1 ;-; 1&-1&00&0&02&-2&0 = 1 & 1 & 0 0 & 2 & 0 -2 & 2 & 2

Passo 6

Por fim
N = A - D = 3 & 1 & -1 2 & 2 & -1 2 & 2 & 0 - 1 & 1 & 0 0 & 2 & 0 -2 & 2 & 2 = 2 & 0 & -1 2 & 0 & -1 4 & 0 & -2
Verificamos que
N^2=0 e DN=ND
(pois ambos são polinômios em A), logo N é nilpotente e D é diagonalizável.

Resposta

A decomposição T=D+N com DN=ND é dada, na base canônica, por
D = 1 & 1 & 0 0 & 2 & 0 -2 & 2 & 2 , N = 2 & 0 & -1 2 & 0 & -1 4 & 0 & -2

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