Seja o operador linear sobre que é representado pela matriz
em relação à base ordenada canônica. Mostrar que existe um operador diagonalizável D sobre R^3 e um operador nilpotente N sobre R^3 tais que T=D+N e D N=N D. Determinar as matrizes de D e N em relação à base canônica.
Passo 1
O enunciado nos dá o operador linear TcolonR^3toR^3 cuja matriz, na base canônica, é
A= 3 & 1 & -1 2 & 2 & -1 2 & 2 & 0
Queremos aplicar a decomposição de Jordan–Chevalley (ou decomposição semissimples + nilpotente): escrever
T = D + N,
onde D é diagonalizável, N é nilpotente, DN=ND, e determinar as matrizes de D e N na base canônica.
Passo 2
Primeiro encontramos o polinômio característico de A.