Use a geometria ou simetria, ou ambas, para calcular a integral dupla. \iint_{D} \sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}} d A, D é o disco com centro na origem e raio R.
Passo 1
O enunciado pede
\iint_{D}\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}\;dA,
onde D é o disco de raio R centrado na origem. Podemos ver que a função
z=\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}
é a semi‐esfera de raio R. Logo o integral dá o volume dessa semi‐esfera. Para confirmar, vamos também calcular em coordenadas polares.
Passo 2
Em coordenadas polares fazemos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta,