Use a geometria ou simetria, ou ambas, para calcular a integral dupla.
\iint_{D} \sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}} d A, D é o disco com centro na origem e raio R.

Passo 1

O enunciado pede
\iint_{D}\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}\;dA,
onde D é o disco de raio R centrado na origem. Podemos ver que a função
z=\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}
é a semi‐esfera de raio R. Logo o integral dá o volume dessa semi‐esfera. Para confirmar, vamos também calcular em coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta,
com 0\le r\le R e 0\le\theta\le2\pi. Assim
\iint_{D}\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}\;dA = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{R}\sqrt{R^{2}-r^{2}}\;r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Vamos calcular primeiro
I_r=\int_{0}^{R}r\sqrt{R^{2}-r^{2}}\;dr.
Use a substituição
u=R^{2}-r^{2},\quad du=-2r\,dr
para obter
I_r =-\tfrac12\int_{u=R^{2}}^{0}u^{1/2}\,du =\tfrac12\int_{0}^{R^{2}}u^{1/2}\,du =\tfrac12\cdot\tfrac{2}{3}u^{3/2}\Big|_{0}^{R^{2}} =\tfrac{1}{3}R^{3}.

Passo 4

Agora voltamos ao integral completo:
\iint_{D}\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}\;dA = \int_{0}^{2\pi}I_r\,d\theta = 2\pi\cdot\tfrac{1}{3}R^{3} = \tfrac{2\pi}{3}R^{3}.
Isso coincide com o volume de uma semi‐esfera de raio R.

Resposta

\displaystyle \frac{2\pi}{3}R^{3}

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