Questão 14: Considere os subespaços vetoriais do mathbb{R}^{3} :
\begin{gathered} W_{1}=\{(x, y, z) \mid x-2 z=0\}\\\ W_{2}=\{(x, y, z) \mid 2 y+z=0\}\\\ W_{3}=[(1,1,1),(1,-1,2)]\\\ W_{4}=[(1,2,3),(2,-3,2)] \end{gathered}
Determine uma base e a dimensão de: W_{3} \cap W_{4}
Passo 1
O enunciado dá quatro subespaços de \mathbb{R}^{3} e pede a base e a dimensão de W_{3}\cap W_{4}. As informações relevantes são:
W_{3} = [ (1,1,1),\;(1,-1,2) ]
W_{4} = [ (1,2,3),\;(2,-3,2) ]
Ou seja, W_{3} é o subespaço formado por todas as combinações lineares de (1,1,1) e (1,-1,2), e W_{4} é o subespaço formado por todas as combinações lineares de (1,2,3) e (2,-3,2). Precisamos encontrar todos os vetores que pertencem simultaneamente a W_{3} e a W_{4}.
Passo 2
Explicar o que fazer (de forma prática): um vetor \mathbf{v} pertence a W_{3}\cap W_{4} se e somente se existe escalares a,b,c,d tais que
\mathbf{v} = a(1,1,1) + b(1,-1,2)
e ao mesmo tempo
\mathbf{v} = c(1,2,3) + d(2,-3,2).
Isto é, um mesmo vetor pode ser escrito como combinação linear dos geradores de W_{3} e também como combinação linear dos geradores de W_{4}. Vamos impor a igualdade entre essas duas expressões e resolver para os escalares.
Passo 3
Escrevendo coordenada a coordenada a igualdade
a(1,1,1)+b(1,-1,2)=c(1,2,3)+d(2,-3,2)
obtemos o sistema de três equações lineares em quatro incógnitas [a,b,c,d):
\begin{cases} a + b = c + 2d,\\[4pt] a - b = 2c - 3d,\\[4pt] a + 2b = 3c + 2d. \end{cases}
Cada linha corresponde às coordenadas (x,y,z] respectivamente.]
Passo 4
Vamos eliminar c e d em função de a e b. Da primeira equação isolamos c:
c = a + b - 2d.
Substituímos esse c na segunda equação:
a - b = 2(a + b - 2d) - 3d.
Desenvolvendo o lado direito:
a - b = 2a + 2b - 4d - 3d = 2a + 2b - 7d.
Reorganizando para isolar d:
a - b - 2a - 2b = -7d
- a - 3b = -7d
d = \frac{a + 3b}{7}.
Agora voltamos em c = a + b - 2d:
c = a + b - 2\cdot\frac{a + 3b}{7} = \frac{7a + 7b - 2a - 6b}{7} = \frac{5a + b}{7}.
Portanto obtivemos c e d em função de a e b:
d = \frac{a + 3b}{7},\qquad c = \frac{5a + b}{7}.
Passo 5
Usamos a terceira equação para impor consistência. A terceira equação exige
Portanto todo vetor da interseção é da forma a(3,-1,5) com a\in\mathbb{R}. Observação de verificação: também deu c=d=a, então o mesmo vetor é a((1,2,3)+(2,-3,2)) = a(3,-1,5), consistente com pertencer a ambos.
Passo 7
Conclusão final e interpretação didática: a interseção W_{3}\cap W_{4} é o conjunto de todos os múltiplos escalares do vetor (3,-1,5), ou seja, é uma reta através da origem no sentido de (3,-1,5). Uma base natural é o conjunto com esse vetor, e a dimensão é 1. Lembre-se: quando a interseção de dois planos que passam pela origem em \mathbb{R}^{3} não é trivial, normalmente é uma reta (dimensão 1) — e aqui foi esse o caso.