Questão 15. Determine as derivadas parciais da função
f(x, y)=\left\{\begin{array}{l} \frac{x+y^{4}}{x^{2}+y^{2}}, \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, \text { se }(x, y)=(0,0) \end{array} .\right.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x+y^{4}}{x^{2}+y^{2}},& (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,& (x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede as derivadas parciais em todos os pontos. Para (x,y)\neq(0,0) usaremos a regra do quociente; em (0,0) usaremos a definição de derivada parcial por limite.]

Passo 2

Para (x,y)\neq(0,0) escrevemos N=x+y^4 e D=x^2+y^2. Como
N_x=1, \qquad D_x=2x,
temos pela regra do quociente
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{N_x\,D - N\,D_x}{D^2} =\frac{(x^2+y^2)-2x(x+y^4)}{(x^2+y^2)^2}.

Passo 3

Ainda para (x,y)\neq(0,0) calculamos
N_y=4y^3, \qquad D_y=2y,
e aplicamos a regra do quociente:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{4y^3\,(x^2+y^2)-2y\,(x+y^4)}{(x^2+y^2)^2}.

Passo 4

Em (0,0), a derivada parcial em x é
f_x(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\frac{h+0}{h^2+0}-0}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\frac{1}{h}}{h} =\lim_{h\to0}\frac{1}{h^2} =+\infty,
logo f_x(0,0) não existe.

Passo 5

Em (0,0), a derivada parcial em y é
f_y(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\frac{0+h^4}{0+h^2}-0}{h} =\lim_{h\to0}\frac{h^2}{h} =\lim_{h\to0}h =0.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =\frac{x^2+y^2-2x(x+y^4)}{(x^2+y^2)^2}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =\frac{4y^3(x^2+y^2)-2y(x+y^4)}{(x^2+y^2)^2} para (x,y)\neq(0,0).
Em (0,0), f_x(0,0) não existe e f_y(0,0)=0.

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