Questão 16. Calcule as derivadas parciais de 1^{\circ} e 2^{\circ} ordem das funções:
z=\cos \left(3 x+\mathrm{e}^{x y}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
z = \cos\bigl(3x + e^{xy}\bigr).
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia (para derivada de \cos(u)) e, nos segundos derivadas, também a regra do produto.

Passo 2

Definimos
u(x,y) = 3x + e^{xy}.
Então
u_x = 3 + y\,e^{xy}, \quad u_y = x\,e^{xy}.
Aplicando a derivada de \cos(u), obtemos as parciais de primeira ordem:
z_x = -\sin(u)\,u_x = -\sin\bigl(3x + e^{xy}\bigr)\bigl(3 + y\,e^{xy}\bigr),
z_y = -\sin(u)\,u_y = -\sin\bigl(3x + e^{xy}\bigr)\,x\,e^{xy}.

Passo 3

Para z_{xx}, escrevemos z_x = -\sin(u)\,v com v = 3 + y\,e^{xy}. Temos
v_x = y^2\,e^{xy}, \quad u_x = v.
Aplicando a regra do produto e a cadeia:
z_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(-\sin(u)\,v\bigr) = -\cos(u)\,u_x\,v \;-\;\sin(u)\,v_x = -\cos\bigl(3x+e^{xy}\bigr)\,(3+y\,e^{xy})^2 \;-\;y^2\,e^{xy}\,\sin\bigl(3x+e^{xy}\bigr).

Passo 4

Para z_{xy}, derivamos z_x em relação a y. Mantemos v=3+y\,e^{xy} e usamos
u_y = x\,e^{xy}, \quad v_y = e^{xy} + xy\,e^{xy} = e^{xy}(1+xy).
Logo
z_{xy} = -\cos(u)\,u_y\,v \;-\;\sin(u)\,v_y = -\cos\bigl(3x+e^{xy}\bigr)\,x\,e^{xy}\,(3+y\,e^{xy}) \;-\;e^{xy}(1+xy)\,\sin\bigl(3x+e^{xy}\bigr).

Passo 5

Para z_{yy}, escrevemos z_y = -\sin(u)\,w com w = x\,e^{xy}. Temos
w_y = x^2\,e^{xy}, \quad u_y = w.
Aplicando produto e cadeia:
z_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(-\sin(u)\,w\bigr) = -\cos(u)\,u_y\,w \;-\;\sin(u)\,w_y = -\cos\bigl(3x+e^{xy}\bigr)\,(x\,e^{xy})^2 \;-\;x^2\,e^{xy}\,\sin\bigl(3x+e^{xy}\bigr).

Resposta

z_x = -\sin\bigl(3x + e^{xy}\bigr)\bigl(3 + y\,e^{xy}\bigr), \quad z_y = -\sin\bigl(3x + e^{xy}\bigr)\,x\,e^{xy},
z_{xx} = -\cos\bigl(3x+e^{xy}\bigr)\,(3+y\,e^{xy})^2 \;-\;y^2\,e^{xy}\,\sin\bigl(3x+e^{xy}\bigr),
z_{xy} = -\cos\bigl(3x+e^{xy}\bigr)\,x\,e^{xy}\,(3+y\,e^{xy}) \;-\;e^{xy}(1+xy)\,\sin\bigl(3x+e^{xy}\bigr),
z_{yy} = -\cos\bigl(3x+e^{xy}\bigr)\,(x\,e^{xy})^2 \;-\;x^2\,e^{xy}\,\sin\bigl(3x+e^{xy}\bigr).

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