Questão 16. Calcule as derivadas parciais de 1^{\circ} e 2^{\circ} ordem das funções:
z=\ln \left(\frac{x+\mathrm{e}^{y}}{y}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
z = \ln\!\biggl(\frac{x + e^{y}}{y}\biggr).
O conteúdo envolve derivadas parciais, aplicação da regra da cadeia e da derivada de logaritmo e exponencial.

Passo 2

Primeiro escrevemos
z = \ln(x + e^{y}) \;-\; \ln y.
Derivando em relação a x, só o primeiro termo depende de x, e pela regra \frac{d}{dx}\ln(u)=u'/u:
z_x = \frac{1}{x + e^{y}}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x + e^{y}) = \frac{1}{x + e^{y}}\cdot 1 = \frac{1}{x + e^{y}}.

Passo 3

Para z_{y}, derivamos cada termo em relação a y:
  • De \ln(x + e^{y}) vem \frac{1}{x + e^{y}}\cdot e^{y}.
  • De -\ln y vem -\frac{1}{y}.
    Logo
z_{y} = \frac{e^{y}}{x + e^{y}} \;-\; \frac{1}{y}.

Passo 4

Agora as segundas derivadas. Começando por z_{xx}, derivamos z_x = (x + e^{y})^{-1} em relação a x:
z_{xx} = -1\,(x + e^{y})^{-2}\cdot 1 = -\frac{1}{(x + e^{y})^{2}}.

Passo 5

Para z_{xy} (que é igual a z_{yx}), derivamos z_x = (x + e^{y})^{-1} em relação a y:
z_{xy} = -1\,(x + e^{y})^{-2}\cdot e^{y} = -\frac{e^{y}}{(x + e^{y})^{2}}.

Passo 6

Por fim, z_{yy} a partir de
z_{y} = \frac{e^{y}}{x + e^{y}} \;-\; \frac{1}{y}.
Use a regra do quociente no primeiro termo, com u=e^{y}, v=x+e^{y}:
\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\tfrac{u}{v}\Bigr) = \frac{u'v - u\,v'}{v^{2}} = \frac{e^{y}(x+e^{y}) - e^{y}\,e^{y}}{(x+e^{y})^{2}} = \frac{x\,e^{y}}{(x + e^{y})^{2}}.
E do segundo termo -1/y vem +1/y^{2}. Assim
z_{yy} = \frac{x\,e^{y}}{(x + e^{y})^{2}} \;+\; \frac{1}{y^{2}}.

Resposta

\displaystyle z_{x} = \frac{1}{x + e^{y}}
\displaystyle z_{y} = \frac{e^{y}}{x + e^{y}} - \frac{1}{y}
\displaystyle z_{xx} = -\frac{1}{(x + e^{y})^{2}}
\displaystyle z_{xy} = -\frac{e^{y}}{(x + e^{y})^{2}}
\displaystyle z_{yy} = \frac{x\,e^{y}}{(x + e^{y})^{2}} + \frac{1}{y^{2}}

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