Questão 16- Num cone circular reto de 18 m de altura, inscreve-se uma esfera de 5 m de raio. Calcule o diâmetro da base e a geratriz do cone.

Passo 1

O enunciado descreve um cone circular reto de altura 18 m no qual está inscrita uma esfera de raio 5 m. Precisamos encontrar o diâmetro da base do cone e a sua geratriz. O conteúdo envolvido é geometria espacial, usando a seção meridiana (triângulo) do cone, a condição de tangência da esfera à base e à superfície lateral, e relações de semelhança ou distância de ponto a reta.

Passo 2

Na seção meridiana, o cone gera um triângulo retângulo de base R (raio do cone) e altura h=18. A esfera de centro O a r=5 m acima do vértice da base toca a base e a geratriz. A distância de O à reta que representa a geratriz deve ser igual a r. Equação da geratriz no plano: passa por A(0,18) e B(R,0), cujo formato é
\frac{18}{R}\,x + y - 18 = 0.
A distância de O(0,5) a essa reta é
\frac{\bigl|\tfrac{18}{R}\cdot0 + 5 - 18\bigr|}{\sqrt{\bigl(\tfrac{18}{R}\bigr)^2 + 1}} = \frac{13}{\sqrt{\tfrac{324}{R^2}+1}} = \frac{13\,R}{\sqrt{R^2+324}}.
Como essa distância deve valer r=5, obtemos
\frac{13\,R}{\sqrt{R^2+324}} = 5.

Passo 3

Resolvendo para R:
13\,R = 5\,\sqrt{R^2+324} \quad\Longrightarrow\quad 169\,R^2 = 25\,(R^2+324) \quad\Longrightarrow\quad 169\,R^2 = 25\,R^2 + 8100
144\,R^2 = 8100 \quad\Longrightarrow\quad R^2 = \frac{8100}{144} = 56{,}25 \quad\Longrightarrow\quad R = 7{,}5\text{ m}.

Passo 4

O diâmetro da base é o dobro de R:
2R = 2 \times 7{,}5 = 15\text{ m}.

Passo 5

A geratriz L do cone é a hipotenusa do triângulo de catetos R e h:
L = \sqrt{R^2 + h^2} = \sqrt{56{,}25 + 324} = \sqrt{380{,}25} = 19{,}5\text{ m}.

Resposta

O diâmetro da base é 15 m.
A geratriz do cone é 19{,}5 m.

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