Questão 16. Seja
a_{n}=\frac{n!}{2^{n}}
Use o Critério da Razão para determinar se a sequência converge ou diverge.

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=\frac{n!}{2^{n}}
e pede para, usando o Critério da Razão, determinar se a sequência converge ou diverge.
Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de a_{n} para todo n\in\mathbb{N}.
Pergunta clara: a sequência \left(a_{n}\right) converge (para algum número finito) ou diverge (por exemplo, para +\infty ou oscila)?

Passo 2

Vamos aprender o que é o Critério da Razão para sequências (explicado de forma prática). Seja uma sequência positiva \left(a_{n}\right)\) (isto é, \(a_{n}>0\) para todo \(n\)). Definimos \[L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}.
As consequências úteis são:
\begin{cases} \text{se }L<1\text{, então }a_{n}\to0\text{ (a sequência converge para }0\text{);}\\[4pt] \text{se }L>1\text{ (incluindo }L=+\infty\text{), então }a_{n}\to+\infty\text{ (diverge);}\\[4pt] \text{se }L=1\text{, o critério é inconclusivo.} \end{cases}ãêãéé
Por que isso funciona (intuitivamente)? Se \frac{a_{n+1}}{a_n}\] fica, por exemplo, maior que \(1+\varepsilon>1 para n grande, então a sequência cresce pelo menos geometricamente (multiplicando por algo >1 a cada passo), logo tende a +\infty. Se a razão fica menor que 1-\varepsilon, ela decai geometricamente para 0.]

Passo 3

Aplicamos o Critério da Razão à nossa sequência. Calculamos a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{\dfrac{(n+1)!}{2^{\,n+1}}}{\dfrac{n!}{2^{\,n}}}.
Agora simplificamos: (n+1)!=(n+1)\,n! e 2^{\,n+1}=2\cdot 2^{\,n}. Cancelando n! e 2^{\,n} obtemos
\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{n+1}{2}.

Passo 4

Precisamos do limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2}.
A expressão \dfrac{n+1}{2} é uma função linear em n e cresce sem limite quando n\to\infty. Portanto
L=+\infty.
Em particular, L>1.

Passo 5

Pelo resultado do Critério da Razão explicado no Passo 2, se L>1 (aqui L=+\infty), então a sequência \left(a_{n}\right) diverge e, no caso de termos positivos, diverge para +\infty. Ou seja, os termos crescem sem limite conforme n aumenta.

Passo 6

Para intuir numericamente essa divergência, veja alguns valores (tirados diretamente da fórmula \;a_{n}=\dfrac{n!}{2^{n}}\;):
a_{1}=\frac{1}{2},\quad a_{2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},\quad a_{3}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4},
a_{4}=\frac{24}{16}=\frac{3}{2},\quad a_{5}=\frac{120}{32}=\frac{15}{4}=3{,}75,
a_{6}=\frac{720}{64}=11{,}25,\quad a_{7}=\frac{5040}{128}=39{,}375,
esses números mostram que, após certo n, os termos crescem rapidamente, confirmando a conclusão teórica.

Resposta

A sequência diverge, com a_{n}\to+\infty.

Exercícios relacionados