Questão 15. Determine se as sequências abaixo de termo geral a_{n} são convergentes. Calcule o limite, se existir, usando as propriedades de limites.
a_{n}=8-2 n

Passo 1

O enunciado pede: determinar se a sequência de termo geral a_{n} é convergente e, se for, calcular o seu limite.
Informação dada: a sequência é
a_{n}=8-2 n.

Passo 2

Primeiro, vou lembrar (de um jeito simples) o que significa uma sequência convergir ou divergir.
  • Uma sequência converge para um número finito L se, pensado informalmente, seus termos ficam arbitrariamente próximos de L quando n cresce muito. Formalmente: dizemos que \lim_{n\to\infty} a_n = L quando, para todo \varepsilon>0, existe N tal que para todo n>N temos |a_n-L|<\varepsilon.
  • Uma sequência diverge para -\infty se seus termos ficam arbitrariamente negativos quando n cresce. Formalmente: dizemos que \lim_{n\to\infty} a_n = -\infty quando, para todo M\in\mathbb{R}, existe N tal que para todo n>N temos a_n < M.
Vou usar a definição de divergência para -\infty (a segunda) porque a expressão 8-2n sugere que, ao aumentar n, os termos ficam cada vez menores (mais negativos).

Passo 3

Mostro que a_n diverge para -\infty usando a definição: pegue um número real qualquer M. Quero encontrar N tal que, para todo n>N, ocorra a_n < M.
Começo da desigualdade com a expressão de a_n:
a_n < M \quad\Longleftrightarrow\quad 8-2n < M.
Isolando n:
8-2n < M \quad\Longleftrightarrow\quad -2n < M-8.
Multiplico ambos os lados por -1. Lembre-se que ao multiplicar por um número negativo a desigualdade troca de sentido:
2n > 8-M.
Dividindo por 2>0,
n > \frac{8-M}{2}.

Passo 4

A partir do passo anterior, para garantir a_n<M basta escolher qualquer N inteiro tal que
N > \frac{8-M}{2}.
Por exemplo, podemos escolher
N = \left\lceil \frac{8-M}{2} \right\rceil,
onde \lceil x\rceil é o menor inteiro maior ou igual a x. Com esse N, para todo n>N teremos n>\frac{8-M}{2}, portanto a_n< M. Como isso vale para qualquer M\in\mathbb{R}, concluímos que
\lim_{n\to\infty} a_n = -\infty.

Passo 5

Comentário intuitivo e uso de propriedades de limites (para fixar a ideia): sabemos que n\to +\infty quando n cresce. Multiplicando por -2 obtemos -2n\to -\infty. Somar a constante 8 desloca todos os termos por uma quantidade finita, então 8-2n também tende a -\infty. Isso confirma o resultado do método formal acima.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = -\infty (a sequência diverge para -\infty, portanto não é convergente).

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