Questão 15. Determine se as sequências abaixo de termo geral
são convergentes. Calcule o limite, se existir, usando as propriedades de limites.
Passo 1
O enunciado pede: determinar se a sequência de termo geral
é convergente e, se for, calcular o seu limite.
Informação dada: a sequência é
Informação dada: a sequência é
Passo 2
Primeiro, vou lembrar (de um jeito simples) o que significa uma sequência convergir ou divergir.
-
Uma sequência converge para um número finito
se, pensado informalmente, seus termos ficam arbitrariamente próximos de quando cresce muito. Formalmente: dizemos que quando, para todo , existe tal que para todo temos . -
Uma sequência diverge para
se seus termos ficam arbitrariamente negativos quando cresce. Formalmente: dizemos que quando, para todo , existe tal que para todo temos .
Vou usar a definição de divergência para
(a segunda) porque a expressão
sugere que, ao aumentar
, os termos ficam cada vez menores (mais negativos).
Passo 3
Mostro que
diverge para
usando a definição: pegue um número real qualquer
. Quero encontrar
tal que, para todo
, ocorra
.
Começo da desigualdade com a expressão de
:
Isolando
:
Multiplico ambos os lados por
. Lembre-se que ao multiplicar por um número negativo a desigualdade troca de sentido:
Dividindo por
,
Passo 4
A partir do passo anterior, para garantir
basta escolher qualquer
inteiro tal que
Por exemplo, podemos escolher
onde
é o menor inteiro maior ou igual a
. Com esse
, para todo
teremos
, portanto
. Como isso vale para qualquer
, concluímos que
Passo 5
Comentário intuitivo e uso de propriedades de limites (para fixar a ideia): sabemos que
quando
cresce. Multiplicando por
obtemos
. Somar a constante
desloca todos os termos por uma quantidade finita, então
também tende a
. Isso confirma o resultado do método formal acima.