Questão 15. Determine se as sequências abaixo de termo geral a_{n} são convergentes. Calcule o limite, se existir, usando as propriedades de limites.
[ a_{n}=\frac{n}{2 n+1} ]

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência de termo geral a_{n} é convergente e, se for, calcular o limite. A sequência dada é
a_{n}=\frac{n}{2n+1},
onde n é um inteiro positivo que tende a infinito. Informações relevantes: a fórmula explícita de a_{n} e a pergunta sobre convergência e valor do limite quando n\to\infty.

Passo 2

Primeiro vamos transformar a expressão de a_{n} para deixá-la mais fácil de analisar quando n cresce. A técnica padrão para frações polinomiais é dividir numerador e denominador pelo maior grau de n presente (aqui é n). Fazendo isso obtemos:
a_{n}=\frac{n}{2n+1}=\frac{n/n}{2n/n+1/n}=\frac{1}{2+\tfrac{1}{n}}.
Essa reescrita é uma álgebra simples: dividi cada termo por n. Agora a sequência está escrita em termos de 1/n, que é uma sequência conhecida e fácil de estudar.

Passo 3

Agora vamos usar propriedades básicas de limites. Uma propriedade importante é:
se \lim_{n\to\infty} b_{n}=B e \lim_{n\to\infty} c_{n}=C, então
\lim_{n\to\infty} (b_{n}+c_{n})=B+C
e, desde que C\neq 0,
\lim_{n\to\infty} \frac{b_{n}}{c_{n}}=\frac{B}{C}.
Também usaremos que constantes têm limite igual a si mesmas: \lim 2 = 2.

Passo 4

Precisamos conhecer o limite de \tfrac{1}{n} quando n\to\infty. Intuitivamente, \tfrac{1}{n} fica cada vez menor e se aproxima de 0. Formalmente, para qualquer \varepsilon>0 basta escolher N>\tfrac{1}{\varepsilon}; para n\ge N temos \left|\tfrac{1}{n}-0\right|=\tfrac{1}{n}\le\tfrac{1}{N}<\varepsilon. Logo
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.

Passo 5

Usando a propriedade de soma de limites, aplicamos isso a 2+\tfrac{1}{n}:
\lim_{n\to\infty}\left(2+\frac{1}{n}\right)=2+\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=2+0=2.
Como o limite do denominador é 2, que é diferente de zero, podemos usar a propriedade do limite do quociente. Assim,
\lim_{n\to\infty} a_{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2+\tfrac{1}{n}}=\frac{1}{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(2+\tfrac{1}{n}\right)}=\frac{1}{2}.

Passo 6

Interpretação e verificação numérica rápida para ganhar confiança: calculando alguns termos (apenas para ver) temos a_{1}=\tfrac{1}{3}\approx 0,333, a_{10}=\tfrac{10}{21}\approx 0,476, a_{100}=\tfrac{100}{201}\approx 0,4975. Esses valores mostram que a_{n} se aproxima de 0,5 quando n cresce, coerente com o limite \tfrac{1}{2}.

Resposta

A sequência \{a_{n}\} é convergente e
\lim_{n\to\infty} a_{n}=\frac{1}{2}.

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