Questão 15. Determine se as sequências abaixo de termo geral a_{n} são convergentes. Calcule o limite, se existir, usando as propriedades de limites.
[ a_{n}=\frac{n}{2 n+1} ]
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a sequência de termo geral a_{n} é convergente e, se for, calcular o limite. A sequência dada é
a_{n}=\frac{n}{2n+1},
onde n é um inteiro positivo que tende a infinito. Informações relevantes: a fórmula explícita de a_{n} e a pergunta sobre convergência e valor do limite quando n\to\infty.
Passo 2
Primeiro vamos transformar a expressão de a_{n} para deixá-la mais fácil de analisar quando n cresce. A técnica padrão para frações polinomiais é dividir numerador e denominador pelo maior grau de n presente (aqui é n). Fazendo isso obtemos:
Essa reescrita é uma álgebra simples: dividi cada termo por n. Agora a sequência está escrita em termos de 1/n, que é uma sequência conhecida e fácil de estudar.
Passo 3
Agora vamos usar propriedades básicas de limites. Uma propriedade importante é:
se \lim_{n\to\infty} b_{n}=B e \lim_{n\to\infty} c_{n}=C, então
Também usaremos que constantes têm limite igual a si mesmas: \lim 2 = 2.
Passo 4
Precisamos conhecer o limite de \tfrac{1}{n} quando n\to\infty. Intuitivamente, \tfrac{1}{n} fica cada vez menor e se aproxima de 0. Formalmente, para qualquer \varepsilon>0 basta escolher N>\tfrac{1}{\varepsilon}; para n\ge N temos \left|\tfrac{1}{n}-0\right|=\tfrac{1}{n}\le\tfrac{1}{N}<\varepsilon. Logo
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.
Passo 5
Usando a propriedade de soma de limites, aplicamos isso a 2+\tfrac{1}{n}:
Interpretação e verificação numérica rápida para ganhar confiança: calculando alguns termos (apenas para ver) temos a_{1}=\tfrac{1}{3}\approx 0,333, a_{10}=\tfrac{10}{21}\approx 0,476, a_{100}=\tfrac{100}{201}\approx 0,4975. Esses valores mostram que a_{n} se aproxima de 0,5 quando n cresce, coerente com o limite \tfrac{1}{2}.