Considere
.
isso pode ser difícil para a multiplicação de matrizes) que, com as operações de soma e produto usuais:
a) (
. ) é um anel;
b)
.
tem unidade.
a) (
b)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Mostrar que
é um anel, onde é o conjunto das matrizes com entradas em , e as operações são a soma e o produto usuais de matrizes. - Mostrar que, se
tem unidade (ou seja, existe tal que para todo ), então também tem unidade (ou seja, existe uma matriz identidade multiplicativa em ).
Informações dadas e relevantes:
-
é um anel, logo em valem: associatividade da soma e do produto, existência de elemento neutro aditivo , existência de inversos aditivos, distributividade do produto sobre a soma, e associatividade do produto. Não assumimos necessariamente que o produto em seja comutativo. -
é o conjunto das matrizes com entradas em . Se escrevemos as entradas como com . - A soma em
é definida componente a componente. O produto em é o produto matricial usual, isto é, se e então
A resolução começa aqui nos passos seguintes.
Passo 2
Definições e observações iniciais (para usar depois):
- Definimos
. - Soma: para
e em , . Isso usa a soma em . - Produto: para
e , . Essa soma finita e produtos são feitos em .
Explicação rápida do que significam as fórmulas: a entradado produto é obtida multiplicando entradas correspondentes da linha de pelas da coluna de e somando, tudo em .
Passo 3
Soma: provando que
é um grupo abeliano.
- Fechamento: se
então (fechamento da soma em ), logo . - Associatividade: para
,
e
Como a soma em
é associativa, as duas quantidades coincidem para todo
, logo as matrizes coincidem; portanto a soma é associativa.
- Elemento neutro aditivo: a matriz nula
(todas as entradas ) satisfaz
portanto
é o neutro aditivo.
- Inverso aditivo: para
definimos onde é o inverso aditivo em . Então
logo
.
- Comutatividade:
porque a soma em é comutativa.
Conclusão:é um grupo abeliano.
Passo 4
Fechamento do produto e observação sobre as entradas.
- Fechamento: se
então e somas finitas desses produtos estão em ; portanto para todo , logo .
Essa é apenas a verificação de que o produto de duas matrizes tem entradas em.
Passo 5
Associatividade do produto matricial.
Queremos mostrar que para vale
. Tomemos uma entrada fixa
e calculemos os dois lados componente a componente:
Queremos mostrar que para
- Primeiro,
- Reescrevendo a soma dupla (é uma soma finita de elementos de
), usamos associatividade do produto em e distributividade de soma sobre produto em para reagrupar:
- O lado direito é então
As igualdades acima são justificadas porque tratamos de somas finitas e usamos apenas associatividade e distributividade em
(não precisamos de comutatividade). Como essa igualdade vale para todo
, segue
.
Portanto o produto é associativo.
Portanto o produto é associativo.
Passo 6
Distributividade do produto sobre a soma.
Mostramos as duas igualdades distributivas entrywise.
Mostramos as duas igualdades distributivas entrywise.
- Para a distributividade à esquerda, tomemos
:
Usando distributividade em
e linearidade de soma finita:
logo
.
- A distributividade à direita é análoga:
Assim ambas as distributividades valem.
Passo 7
Conclusão da parte (a).
Reunindo o que provamos:
Reunindo o que provamos:
-
é um grupo abeliano (Passo 3). - O produto em
é fechado e associativo (Passos 4 e 5). - O produto distribui sobre a soma (Passo 6).
Esses são exatamente os axiomas para queseja um anel (não exigimos comutatividade do produto nem existência de unidade para afirmar que é anel). Portanto mostramos que é um anel.
Passo 8
Prova da parte (b): existência de unidade em
onde
.
- Mostramos que
é neutro multiplicativo. Tome qualquer . Calcule a entrada de :
onde usamos que
é identidade multiplicativa em
e
anula produtos. Portanto
.
- De modo análogo,
logo
.
- Assim
é identidade multiplicativa em . Concluímos que, se tem unidade, então também tem unidade, dada por .]
Resposta
a)
é um anel.
b) Se tem unidade
, então
tem unidade
definida por
se
e
se
.
b) Se