Considere (A,+,. ) um anel. Prove (sem entrar em detalhes sobre as contas das operações -çõ isso pode ser difícil para a multiplicação de matrizes) que, com as operações de soma e produto usuais:
a) ( M_{n}(A),+,. ) é um anel;
b) \mathrm{Se}(A,+,. ) tem unidade, então \left(M_{n}(A),+,.\right)ã tem unidade.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Mostrar que \left(M_{n}(A),+,\cdot\right) é um anel, onde M_{n}(A) é o conjunto das matrizes n\times n com entradas em A, e as operações são a soma e o produto usuais de matrizes.
  2. Mostrar que, se (A,+,\cdot) tem unidade (ou seja, existe 1_A\in A tal que 1_A\cdot a=a\cdot 1_A=a para todo a\in A), então \left(M_{n}(A),+,\cdot\right) também tem unidade (ou seja, existe uma matriz identidade multiplicativa em M_n(A)).
Informações dadas e relevantes:
  • A é um anel, logo em A valem: associatividade da soma e do produto, existência de elemento neutro aditivo 0_A, existência de inversos aditivos, distributividade do produto sobre a soma, e associatividade do produto. Não assumimos necessariamente que o produto em A seja comutativo.
  • M_n(A) é o conjunto das matrizes n\times n com entradas em A. Se X\in M_n(A) escrevemos as entradas como x_{ij} com i,j\in\{1,\dots,n\}.
  • A soma em M_n(A) é definida componente a componente. O produto em M_n(A) é o produto matricial usual, isto é, se A=(a_{ij}) e B=(b_{ij}) então
( A+B )_{ij}=a_{ij}+b_{ij},
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}.
A resolução começa aqui nos passos seguintes.

Passo 2

Definições e observações iniciais (para usar depois):
  • Definimos M_n(A)=\{\, (x_{ij})_{1\le i,j\le n} \mid x_{ij}\in A\,\}.
  • Soma: para X=(x_{ij}) e Y=(y_{ij}) em M_n(A), (X+Y)_{ij}=x_{ij}+y_{ij}. Isso usa a soma em A.
  • Produto: para X=(x_{ij}) e Y=(y_{ij}), (XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} x_{ik} y_{kj}. Essa soma finita e produtos são feitos em A.
    Explicação rápida do que significam as fórmulas: a entrada (i,j) do produto é obtida multiplicando entradas correspondentes da linha i de X pelas da coluna j de Y e somando, tudo em A.

Passo 3

Soma: provando que (M_n(A),+) é um grupo abeliano.
  • Fechamento: se x_{ij},y_{ij}\in A então x_{ij}+y_{ij}\in A (fechamento da soma em A), logo X+Y\in M_n(A).
  • Associatividade: para X,Y,Z\in M_n(A),
((X+Y)+Z)_{ij}=(x_{ij}+y_{ij})+z_{ij}
e
(X+(Y+Z))_{ij}=x_{ij}+(y_{ij}+z_{ij}).
Como a soma em A é associativa, as duas quantidades coincidem para todo i,j, logo as matrizes coincidem; portanto a soma é associativa.
  • Elemento neutro aditivo: a matriz nula 0=(0_A)_{ij} (todas as entradas 0_A) satisfaz
(X+0)_{ij}=x_{ij}+0_A=x_{ij},
portanto 0 é o neutro aditivo.
  • Inverso aditivo: para X=(x_{ij}) definimos -X=(-x_{ij}) onde -x_{ij} é o inverso aditivo em A. Então
(X+(-X))_{ij}=x_{ij}+(-x_{ij})=0_A,
logo X+(-X)=0.
  • Comutatividade: (X+Y)_{ij}=x_{ij}+y_{ij}=y_{ij}+x_{ij}=(Y+X)_{ij} porque a soma em A é comutativa.
    Conclusão: (M_n(A),+) é um grupo abeliano.

Passo 4

Fechamento do produto e observação sobre as entradas.
  • Fechamento: se x_{ik},y_{kj}\in A então x_{ik}y_{kj}\in A e somas finitas desses produtos estão em A; portanto (XY)_{ij}\in A para todo i,j, logo XY\in M_n(A).
    Essa é apenas a verificação de que o produto de duas matrizes tem entradas em A.

Passo 5

Associatividade do produto matricial.
Queremos mostrar que para X,Y,Z\in M_n(A) vale (XY)Z=X(YZ). Tomemos uma entrada fixa (i,j) e calculemos os dois lados componente a componente:
  • Primeiro,
((XY)Z)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} (XY)_{ik}\, z_{kj}=\sum_{k=1}^{n}\Big(\sum_{l=1}^{n} x_{il}y_{lk}\Big) z_{kj}.
  • Reescrevendo a soma dupla (é uma soma finita de elementos de A), usamos associatividade do produto em A e distributividade de soma sobre produto em A para reagrupar:
\sum_{k=1}^{n}\sum_{l=1}^{n} (x_{il}y_{lk}) z_{kj} =\sum_{l=1}^{n} x_{il}\Big(\sum_{k=1}^{n} y_{lk} z_{kj}\Big).
  • O lado direito é então
\sum_{l=1}^{n} x_{il}\Big(\sum_{k=1}^{n} y_{lk} z_{kj}\Big)=(X(YZ))_{ij}.
As igualdades acima são justificadas porque tratamos de somas finitas e usamos apenas associatividade e distributividade em A (não precisamos de comutatividade). Como essa igualdade vale para todo i,j, segue (XY)Z=X(YZ).
Portanto o produto é associativo.

Passo 6

Distributividade do produto sobre a soma.
Mostramos as duas igualdades distributivas entrywise.
  • Para a distributividade à esquerda, tomemos X,Y,Z\in M_n(A):
(X(Y+Z))_{ij}=\sum_{k=1}^{n} x_{ik}(y_{kj}+z_{kj}).
Usando distributividade em A e linearidade de soma finita:
\sum_{k=1}^{n} x_{ik}y_{kj}+\sum_{k=1}^{n} x_{ik}z_{kj}=(XY)_{ij}+(XZ)_{ij},
logo X(Y+Z)=XY+XZ.
  • A distributividade à direita é análoga:
((X+Y)Z)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} (x_{ik}+y_{ik})z_{kj}=\sum_{k=1}^{n} x_{ik}z_{kj}+\sum_{k=1}^{n} y_{ik}z_{kj}=(XZ)_{ij}+(YZ)_{ij}.
Assim ambas as distributividades valem.

Passo 7

Conclusão da parte (a).
Reunindo o que provamos:
  • (M_n(A),+) é um grupo abeliano (Passo 3).
  • O produto em M_n(A) é fechado e associativo (Passos 4 e 5).
  • O produto distribui sobre a soma (Passo 6).
    Esses são exatamente os axiomas para que \left(M_n(A),+,\cdot\right) seja um anel (não exigimos comutatividade do produto nem existência de unidade para afirmar que é anel). Portanto mostramos que \left(M_n(A),+,\cdot\right) é um anel.

Passo 8

Prova da parte (b): existência de unidade em M_n(A)\) quando \(A\) tem unidade. - Suponha que \(A\) tem unidade \(1_A\). Defina a matriz identidade \(I_n\in M_n(A)\) por \[(I_n)_{ij}=\begin{cases} 1_A &\text{se } i=j,\\[4pt] 0_A &\text{se } i\ne j,\end{cases}
onde 0_A\] é o neutro aditivo de \(A.
  • Mostramos que I_n é neutro multiplicativo. Tome qualquer X=(x_{ij})\in M_n(A). Calcule a entrada (i,j) de I_n X:
(I_n X)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} (I_n)_{ik}\, x_{kj}=(I_n)_{ii}x_{ij}+\sum_{k\ne i} 0_A\cdot x_{kj}=1_A\cdot x_{ij}=x_{ij},
onde usamos que 1_A é identidade multiplicativa em A e 0_A anula produtos. Portanto I_n X=X.
  • De modo análogo,
(X I_n)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} x_{ik}\,(I_n)_{kj}=\sum_{k\ne j} x_{ik}\cdot 0_A + x_{ij}\cdot (I_n)_{jj}=x_{ij}\cdot 1_A = x_{ij},
logo X I_n = X.
  • Assim I_n é identidade multiplicativa em M_n(A). Concluímos que, se A tem unidade, então M_n(A) também tem unidade, dada por I_n.]

Resposta

a) \left(M_{n}(A),+,\cdot\right) é um anel.
b) Se A tem unidade 1_A, então \left(M_{n}(A),+,\cdot\right) tem unidade I_n definida por (I_n)_{ij}=1_A se i=j e (I_n)_{ij}=0_A se i\ne j.

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