Uma pedra foi lançada verticalmente para cima, com uma velocidade de
, a partir do solo. Se a única força, durante o trajeto, for a da gravidade, expresse
e
como funções de
, utilizando equações diferenciais.
Passo 1
O enunciado pede que a gente expresse a velocidade
e a posição (altura)
da pedra como funções do tempo
, usando equações diferenciais. Informações dadas:
- A pedra é lançada verticalmente para cima com velocidade inicial
. - O lançamento é a partir do solo, logo a posição inicial é
. - A única força atuando é a gravidade (assumimos campo gravitacional uniforme).
- Precisamos encontrar
e satisfazendo condições iniciais mencionadas.
Passo 2
Modelagem física e estabelecimento da equação diferencial para a velocidade.
Explicando devagar: Newton diz que a massa vezes aceleração é igual à soma das forças. Como só temos a gravidade (força peso para baixo), a aceleração vertical é constante e aponta para baixo. Escolhemos o sentido positivo para cima. Seja
o módulo da aceleração gravitacional (aproximadamente
). Como a aceleração aponta para baixo, a aceleração algébrica é
.
Agora traduzimos isso para uma equação diferencial. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, então:
Aqui:
-
é a velocidade em função do tempo (positiva para cima). -
é o tempo desde o lançamento. -
é uma constante positiva (módulo da aceleração da gravidade).
Condição inicial:
.
Passo 3
Resolver a equação diferencial para
.
A equação é simples e se resolve por integração. Podemos escrever:
Integramos ambos os lados em relação a
. Fazendo integrais indefinidas:
onde
é a constante de integração. Usamos a condição inicial para determinar
: em
,
, logo
Portanto a solução é
Se quiser um valor numérico de
, substituindo
obtemos
Passo 4
Relacionar velocidade e posição e montar a equação diferencial para
.
Por definição, a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Já temos
, então
Condição inicial:
(lançamento a partir do solo).
Passo 5
Resolver a equação diferencial para
por integração.
Integramos:
Integrais indefinidas:
onde
é constante de integração. Usando
:
Logo
Substituindo
numericamente:
Passo 6
Interpretação rápida (útil na prova): tempo até o pico e altura máxima.
Atinge o pico quando
. Resolva
para
:
Altura máxima
:
Com
isto dá
e
.