Uma pedra foi lançada verticalmente para cima, com uma velocidade de 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, a partir do solo. Se a única força, durante o trajeto, for a da gravidade, expresse v e s como funções de t, utilizando equações diferenciais.

Passo 1

O enunciado pede que a gente expresse a velocidade v e a posição (altura) s da pedra como funções do tempo t, usando equações diferenciais. Informações dadas:
  • A pedra é lançada verticalmente para cima com velocidade inicial \,20\\ \text{m/s}.
  • O lançamento é a partir do solo, logo a posição inicial é \,s(0)=0.
  • A única força atuando é a gravidade (assumimos campo gravitacional uniforme).
  • Precisamos encontrar v(t) e s(t) satisfazendo condições iniciais mencionadas.

Passo 2

Modelagem física e estabelecimento da equação diferencial para a velocidade.
Explicando devagar: Newton diz que a massa vezes aceleração é igual à soma das forças. Como só temos a gravidade (força peso para baixo), a aceleração vertical é constante e aponta para baixo. Escolhemos o sentido positivo para cima. Seja g>0 o módulo da aceleração gravitacional (aproximadamente 9,8\\ \text{m/s}^2). Como a aceleração aponta para baixo, a aceleração algébrica é -g.
Agora traduzimos isso para uma equação diferencial. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, então:
\frac{dv}{dt} = -g.
Aqui:
  • \,v(t) é a velocidade em função do tempo (positiva para cima).
  • \,t é o tempo desde o lançamento.
  • \,g é uma constante positiva (módulo da aceleração da gravidade).
Condição inicial: \,v(0)=20\\ \text{m/s}.

Passo 3

Resolver a equação diferencial para v(t).
A equação é simples e se resolve por integração. Podemos escrever:
\frac{dv}{dt} = -g \quad\Longrightarrow\quad dv = -g\,dt.
Integramos ambos os lados em relação a t. Fazendo integrais indefinidas:
\int dv = \int -g\,dt \quad\Longrightarrow\quad v(t) = -g t + C,
onde C é a constante de integração. Usamos a condição inicial para determinar C: em t=0, v(0)=20, logo
20 = -g\cdot 0 + C \quad\Rightarrow\quad C = 20.
Portanto a solução é
v(t) = 20 - g\,t.
Se quiser um valor numérico de g, substituindo g=9,8\\ \text{m/s}^2 obtemos
v(t) = 20 - 9,8\,t\quad(\text{m/s}).

Passo 4

Relacionar velocidade e posição e montar a equação diferencial para s(t).
Por definição, a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
\frac{ds}{dt} = v(t).
Já temos v(t)=20-g t, então
\frac{ds}{dt} = 20 - g t.
Condição inicial: s(0)=0 (lançamento a partir do solo).

Passo 5

Resolver a equação diferencial para s(t) por integração.
Integramos:
\frac{ds}{dt} = 20 - g t \quad\Longrightarrow\quad ds = (20 - g t)\,dt.
Integrais indefinidas:
\int ds = \int (20 - g t)\,dt \quad\Longrightarrow\quad s(t) = 20t - \frac{g}{2}t^2 + C',
onde C' é constante de integração. Usando s(0)=0:
0 = 20\cdot 0 - \frac{g}{2}\cdot 0^2 + C' \quad\Rightarrow\quad C' = 0.
Logo
s(t) = 20t - \frac{g}{2}t^2.
Substituindo g=9,8\\ \text{m/s}^2 numericamente:
s(t) = 20t - 4,9\,t^2\quad(\text{m}).

Passo 6

Interpretação rápida (útil na prova): tempo até o pico e altura máxima.
Atinge o pico quando v(t)=0. Resolva 20 - g t = 0 para t:
t_{\text{pico}} = \frac{20}{g}.
Altura máxima s(t_{\text{pico}}):
s_{\text{max}} = 20\cdot\frac{20}{g} - \frac{g}{2}\left(\frac{20}{g}\right)^2 = \frac{400}{g} - \frac{200}{g} = \frac{200}{g}.
Com g=9,8 isto dá t_{\text{pico}}\approx 2,04\\ \text{s} e s_{\text{max}}\approx 20,41\\ \text{m}.

Resposta

v(t)=20-g\,t
s(t)=20t-\frac{g}{2}t^{2}

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