Questão 15. Determine se as sequências abaixo de termo geral a_{n} são convergentes. Calcule o limite, se existir, usando as propriedades de limites.
[ a_{n}=e^{\frac{2 n}{n+2}} ]

Passo 1

O enunciado dá a sequência de termo geral a_{n} = e^{\frac{2n}{\,n+2\,}} e pede para determinar se essa sequência é convergente e, se for, calcular o seu limite.
Informações relevantes do enunciado:
  • A sequência é definida por a_{n}=e^{\frac{2n}{\,n+2\,}}.
  • Precisamos analisar a convergência quando n\to\infty e, se convergir, achar \lim_{n\to\infty} a_n.

Passo 2

Vamos primeiro estudar a parte exponencial interna, isto é a sequência
b_n=\frac{2n}{\,n+2\,}.
Explicar a ideia: para calcular \lim_{n\to\infty} a_n é muito conveniente achar \lim_{n\to\infty} b_n e usar depois que a função exponencial é contínua (vou explicar isso em detalhe mais adiante).

Passo 3

Calculemos \lim_{n\to\infty} b_n. Uma técnica simples para limites de razões de polinômios é dividir numerador e denominador pela maior potência de n presente (aqui é n). Assim:
b_n=\frac{2n}{\,n+2\,}=\frac{2}{\,1+\frac{2}{n}\,}.
Agora note que quando n\to\infty temos \frac{2}{n}\to 0. Logo, substituindo no limite:
\lim_{n\to\infty} b_n = \lim_{n\to\infty}\frac{2}{\,1+\frac{2}{n}\,}=\frac{2}{\,1+0\,}=2.
Explicação didática dessa técnica: para sequências racionais onde grau do numerador e denominador é o mesmo, o limite é a razão dos coeficientes líderes (aqui 2/1=2). A manipulação acima é a mesma ideia escrita passo a passo para o caso discreto de n.

Passo 4

Agora usemos uma propriedade importante sobre limites e funções contínuas: se \lim_{n\to\infty} b_n = L e f é contínua em L, então
\lim_{n\to\infty} f(b_n)=f(L).
A função exponencial f(x)=e^{x} é contínua em todo \mathbb{R}, portanto podemos aplicar essa propriedade com b_n e L=2. Assim,
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} e^{b_n} = e^{\lim_{n\to\infty} b_n} = e^{2}.
Breve justificativa intuitiva da continuidade usada: continuidade significa que valores de f(x) mudam pouco quando x muda pouco; se os argumentos b_n se aproximam de 2, então e^{b_n} se aproxima de e^{2}.

Passo 5

Resumo prático para a prova (dica): quando vir uma sequência do tipo a_n = f\!\left(\frac{\text{polinomial de }n}{\text{polinomial de }n}\right), primeiro calcule o limite da fração polinomial (dividindo por n se necessário). Se o limite existir e f for contínua (ex.: e^x,\sin x, polinômios, etc.), então o limite da composição é simplesmente f do limite. Isso é rápido e evita contas desnecessárias.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = e^{2}

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