Questão 15. Determine se as sequências abaixo de termo geral
são convergentes. Calcule o limite, se existir, usando as propriedades de limites.
[ a_{n}=e^{\frac{2 n}{n+2}} ]
[ a_{n}=e^{\frac{2 n}{n+2}} ]
Passo 1
O enunciado dá a sequência de termo geral
e pede para determinar se essa sequência é convergente e, se for, calcular o seu limite.
Informações relevantes do enunciado:
Informações relevantes do enunciado:
- A sequência é definida por
. - Precisamos analisar a convergência quando
e, se convergir, achar .
Passo 2
Vamos primeiro estudar a parte exponencial interna, isto é a sequência
Explicar a ideia: para calcular
é muito conveniente achar
e usar depois que a função exponencial é contínua (vou explicar isso em detalhe mais adiante).
Passo 3
Calculemos
. Uma técnica simples para limites de razões de polinômios é dividir numerador e denominador pela maior potência de
presente (aqui é
). Assim:
Agora note que quando
temos
. Logo, substituindo no limite:
Explicação didática dessa técnica: para sequências racionais onde grau do numerador e denominador é o mesmo, o limite é a razão dos coeficientes líderes (aqui
). A manipulação acima é a mesma ideia escrita passo a passo para o caso discreto de
.
Passo 4
Agora usemos uma propriedade importante sobre limites e funções contínuas: se
e
é contínua em
, então
A função exponencial
é contínua em todo
, portanto podemos aplicar essa propriedade com
e
. Assim,
Breve justificativa intuitiva da continuidade usada: continuidade significa que valores de
mudam pouco quando
muda pouco; se os argumentos
se aproximam de
, então
se aproxima de
.
Passo 5
Resumo prático para a prova (dica): quando vir uma sequência do tipo
, primeiro calcule o limite da fração polinomial (dividindo por
se necessário). Se o limite existir e
for contínua (ex.:
polinômios, etc.), então o limite da composição é simplesmente
do limite. Isso é rápido e evita contas desnecessárias.