Questão 15. Determine se as sequências abaixo de termo geral a_{n} são convergentes. Calcule o limite, se existir, usando as propriedades de limites.
[ a_{n}=\frac{\ln n}{e^{n}} ]

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência de termo geral \displaystyle a_{n}=\frac{\ln n}{e^{n}} é convergente e, se for, calcular o seu limite.
Informações dadas: para cada n\in\mathbb{N} (presumimos n\ge 1) temos o termo
a_{n}=\frac{\ln n}{e^{n}}.
Pergunta explícita: a sequência \{a_{n}\} converge? Se sim, qual é \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}?

Passo 2

Estratégia que vou usar (apresento a ideia antes de executar): é comum estudar limites de sequências que envolvem funções conhecidas passando para uma função contínua definida em [1,\infty), por exemplo
f(x)=\frac{\ln x}{e^{x}},
e calcular \displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x). Se \displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=L existir, então a sequência \{a_n\} com a_n=f(n) também tem \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n=L. Isso vale porque, intuitivamente, os pontos n vão a infinito como os valores reais x\to\infty; mais formalmente, para toda sequência x_k\to\infty temos f(x_k)\to L se \lim_{x\to\infty}f(x)=L, logo em particular f(n)\to L.

Passo 3

Vou calcular \displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{\ln x}{e^{x}}. Note que quando x\to\infty temos \ln x\to\infty e e^{x}\to\infty, então a expressão está na forma indeterminada \infty/\infty. Uma ferramenta adequada para esse caso é a Regra de L’Hôpital; vou explicar ela rapidamente:
  • Regra de L’Hôpital (caso \infty/\infty ou 0/0): se g(x) e h(x) são diferenciáveis numa vizinhança de +\infty (exceto talvez em pontos isolados), e \lim_{x\to\infty} g(x)=\lim_{x\to\infty} h(x)=\infty (ou ambos 0), e se o limite \displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{g'(x)}{h'(x)} existe (ou é \pm\infty), então
\lim_{x\to\infty} \frac{g(x)}{h(x)}=\lim_{x\to\infty} \frac{g'(x)}{h'(x)}.
  • Aqui podemos aplicar porque g(x)=\ln x e h(x)=e^x são diferenciáveis para x>0 e ambos tendem a \infty quando x\to\infty.

Passo 4

Aplicando a Regra de L’Hôpital a f(x)=\dfrac{\ln x}{e^{x}}:
calcule as derivadas
g'(x)=(\ln x)'=\frac{1}{x},\qquad h'(x)=(e^x)'=e^x.
Pela regra,
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{e^x}=\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{e^x}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x\,e^x}.

Passo 5

Agora avalio \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x\,e^x}. Para x\ge 1 temos e^x\ge 1, logo x\,e^x\ge x. Como x\to\infty implica x\,e^x\to\infty, a recíproca tende a zero:
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x\,e^x}=0.
Também é intuitivo: e^x cresce muito mais rápido que qualquer potência ou do que \ln x, portanto o produto x e^x vai a infinito, fazendo a fração tender a zero.

Passo 6

Concluímos então que
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{e^x}=0.
Pelo argumento do Passo 2 (passagem de função para sequência), isso implica que a sequência \displaystyle a_n=\frac{\ln n}{e^{n}} também converge e tem limite 0.

Passo 7

Comentário intuitivo e motivador: pense numericamente — para n=10 temos \ln 10\approx 2,3 e e^{10} já é cerca de 22026, então a fração é muito pequena; à medida que n cresce essa diferença fica gigantesca: o denominador explode exponencialmente, o numerador cresce só lentamente (logaritmo), por isso a fração vai a zero. Você chega no mesmo na prova — se souber usar L’Hôpital está resolvido; se não, pode comparar com funções que crescem mais rápido (ex.: provar que e^n domina qualquer potência de n).

Resposta

0

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