Questão 15. Determine se as sequências abaixo de termo geral
são convergentes. Calcule o limite, se existir, usando as propriedades de limites.
[ a_{n}=\frac{\ln n}{e^{n}} ]
[ a_{n}=\frac{\ln n}{e^{n}} ]
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a sequência de termo geral
é convergente e, se for, calcular o seu limite.
Informações dadas: para cada (presumimos
) temos o termo
Informações dadas: para cada
Pergunta explícita: a sequência
converge? Se sim, qual é
?
Passo 2
Estratégia que vou usar (apresento a ideia antes de executar): é comum estudar limites de sequências que envolvem funções conhecidas passando para uma função contínua definida em
, por exemplo
e calcular
. Se
existir, então a sequência
com
também tem
. Isso vale porque, intuitivamente, os pontos
vão a infinito como os valores reais
; mais formalmente, para toda sequência
temos
se
, logo em particular
.
Passo 3
Vou calcular
. Note que quando
temos
e
, então a expressão está na forma indeterminada
. Uma ferramenta adequada para esse caso é a Regra de L’Hôpital; vou explicar ela rapidamente:
- Regra de L’Hôpital (caso
ou ): se e são diferenciáveis numa vizinhança de (exceto talvez em pontos isolados), e (ou ambos 0), e se o limite existe (ou é ), então
- Aqui podemos aplicar porque
e são diferenciáveis para e ambos tendem a quando .
Passo 4
Aplicando a Regra de L’Hôpital a
:
calcule as derivadas
calcule as derivadas
Pela regra,
Passo 5
Agora avalio
. Para
temos
, logo
. Como
implica
, a recíproca tende a zero:
Também é intuitivo:
cresce muito mais rápido que qualquer potência ou do que
, portanto o produto
vai a infinito, fazendo a fração tender a zero.
Passo 6
Concluímos então que
Pelo argumento do Passo 2 (passagem de função para sequência), isso implica que a sequência
também converge e tem limite
.
Passo 7
Comentário intuitivo e motivador: pense numericamente — para
temos
e
já é cerca de
, então a fração é muito pequena; à medida que
cresce essa diferença fica gigantesca: o denominador explode exponencialmente, o numerador cresce só lentamente (logaritmo), por isso a fração vai a zero. Você chega no mesmo na prova — se souber usar L’Hôpital está resolvido; se não, pode comparar com funções que crescem mais rápido (ex.: provar que
domina qualquer potência de
).