Questão 15. Determine se as sequências abaixo de termo geral a_{n} são convergentes. Calcule o limite, se existir, usando as propriedades de limites.
[ a_{n}=\frac{n{2}}{\sqrt{n{3}+4 n}} ]
Passo 1
O enunciado dá a sequência de termo geral
a_{n}=\frac{n^{2}}{\sqrt{n^{3}+4n}}
e pede para determinar se a sequência é convergente e, se for, calcular o limite. Informação relevante que temos: a expressão de a_{n} em função de n (não há imagens nem outros dados). O que se pede, portanto, é saber o comportamento de a_{n} quando n\to\infty: converge para um número finito ou diverge (por exemplo, para +\infty)?
Passo 2
Vamos simplificar a expressão de a_{n} para ver seu comportamento quando n cresce. Factorizamos n^{3} dentro da raiz para poder separar as potências de n:
pois n^{2}\to+\infty e a razão 4/n^{2} tende a zero. A função x\mapsto\sqrt{x} é contínua em x=1, então aplicando continuidade ao limite do interior da raiz temos
Sabemos que \sqrt{n}\to+\infty quando n\to\infty, e que o segundo fator \dfrac{1}{\sqrt{1+4/n^{2}}} tende a 1 (e, em particular, fica próximo de 1 e é limitado para n grande). Para tornar a argumentação rigorosa, escolhemos, por exemplo, um N tal que para n\ge N valha
Isso é possível porque \sqrt{1+4/n^{2}}\to1. Para tais n temos
\frac{1}{2}<\sqrt{1+\frac{4}{n^{2}}}<\frac{3}{2},
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a_{n}=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{1+\frac{4}{n^{2}}}}>\frac{\sqrt{n}}{3/2}=\frac{2}{3}\sqrt{n}\quad\text{para }n\ge N.
Como \frac{2}{3}\sqrt{n}\to+\infty quando n\to\infty, pelo confronto concluímos que a_{n}\to+\infty. Ou seja, a sequência não converge para um número finito: diverge para +\infty.
Passo 5
Resumo intuitivo: o numerador cresce como n^{2} e o denominador como \sqrt{n^{3}}=n^{3/2}, então a ordem da razão é aproximadamente n^{2}/n^{3/2}=n^{1/2}=\sqrt{n}, que tende a +\infty. A parte \sqrt{1+4/n^{2}} apenas corrige por um fator que tende a 1, não impedindo a divergência.
Resposta
A sequência diverge; \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n}=+\infty.