Questão 15. Determine se as sequências abaixo de termo geral a_{n} são convergentes. Calcule o limite, se existir, usando as propriedades de limites.
[ a_{n}=\frac{n{2}}{\sqrt{n{3}+4 n}} ]

Passo 1

O enunciado dá a sequência de termo geral
a_{n}=\frac{n^{2}}{\sqrt{n^{3}+4n}}
e pede para determinar se a sequência é convergente e, se for, calcular o limite. Informação relevante que temos: a expressão de a_{n} em função de n (não há imagens nem outros dados). O que se pede, portanto, é saber o comportamento de a_{n} quando n\to\infty: converge para um número finito ou diverge (por exemplo, para +\infty)?

Passo 2

Vamos simplificar a expressão de a_{n} para ver seu comportamento quando n cresce. Factorizamos n^{3} dentro da raiz para poder separar as potências de n:
\sqrt{n^{3}+4n}=\sqrt{n^{3}\!\left(1+\frac{4n}{n^{3}}\right)}=\sqrt{n^{3}\!\left(1+\frac{4}{n^{2}}\right)}.
Como \sqrt{n^{3}}=n^{3/2}, obtemos
\sqrt{n^{3}+4n}=n^{3/2}\sqrt{1+\frac{4}{n^{2}}}.
Substituindo na expressão de a_{n},
a_{n}=\frac{n^{2}}{n^{3/2}\sqrt{1+\frac{4}{n^{2}}}}=\frac{n^{1/2}}{\sqrt{1+\frac{4}{n^{2}}}}=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{1+\frac{4}{n^{2}}}}.
Essa reescrita é útil porque separa um fator que cresce ( \sqrt{n}) e um fator que tende a um número (a raiz no denominador).

Passo 3

Estudemos agora o denominador \sqrt{1+\dfrac{4}{n^{2}}}. Primeiro note que
\frac{4}{n^{2}}\to 0\quad\text{quando }n\to\infty,
pois n^{2}\to+\infty e a razão 4/n^{2} tende a zero. A função x\mapsto\sqrt{x} é contínua em x=1, então aplicando continuidade ao limite do interior da raiz temos
\sqrt{1+\frac{4}{n^{2}}}\longrightarrow \sqrt{1}=1\quad\text{quando }n\to\infty.
Portanto o denominador tende a 1 (um número positivo e diferente de zero).

Passo 4

Agora usemos essa informação para decidir o comportamento de a_{n}. Reescrevemos
a_{n}=\sqrt{n}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+\frac{4}{n^{2}}}}.
Sabemos que \sqrt{n}\to+\infty quando n\to\infty, e que o segundo fator \dfrac{1}{\sqrt{1+4/n^{2}}} tende a 1 (e, em particular, fica próximo de 1 e é limitado para n grande). Para tornar a argumentação rigorosa, escolhemos, por exemplo, um N tal que para n\ge N valha
\left|\sqrt{1+\frac{4}{n^{2}}}-1\right|<\frac{1}{2}.
Isso é possível porque \sqrt{1+4/n^{2}}\to1. Para tais n temos
\frac{1}{2}<\sqrt{1+\frac{4}{n^{2}}}<\frac{3}{2},
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a_{n}=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{1+\frac{4}{n^{2}}}}>\frac{\sqrt{n}}{3/2}=\frac{2}{3}\sqrt{n}\quad\text{para }n\ge N.
Como \frac{2}{3}\sqrt{n}\to+\infty quando n\to\infty, pelo confronto concluímos que a_{n}\to+\infty. Ou seja, a sequência não converge para um número finito: diverge para +\infty.

Passo 5

Resumo intuitivo: o numerador cresce como n^{2} e o denominador como \sqrt{n^{3}}=n^{3/2}, então a ordem da razão é aproximadamente n^{2}/n^{3/2}=n^{1/2}=\sqrt{n}, que tende a +\infty. A parte \sqrt{1+4/n^{2}} apenas corrige por um fator que tende a 1, não impedindo a divergência.

Resposta

A sequência diverge; \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n}=+\infty.

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