Questão 15. Determine se as sequências abaixo de termo geral
são convergentes. Calcule o limite, se existir, usando as propriedades de limites.
[ a_{n}=\tan \left(\frac{2 n \pi}{1+8 n}\right) ]
[ a_{n}=\tan \left(\frac{2 n \pi}{1+8 n}\right) ]
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a sequência
é convergente e, se for, calcular o limite. A sequência dada é
Informações relevantes fornecidas: o termo geral é a função tangente aplicada ao quociente
e consideramos
. Nada mais foi omitido no enunciado.
Passo 2
Vamos primeiro analisar a sequência dos argumentos da tangente. Defina
Para calcular
factoramos
do numerador e do denominador (isso é uma técnica padrão para limites de quocientes envolvendo
):
Aqui usei a propriedade de limites que nos permite dividir numerador e denominador por
(não muda a expressão para
).
Passo 3
Agora aplicamos a propriedade dos limites que diz que
. Assim, tomando limite em ambos os lados:
Comentário didático rápido: esse cálculo usa regras básicas de limites (limite da soma, do produto e do quociente quando o denominador não se anula no limite). Um exemplo análogo é
, feito do mesmo jeito (dividindo por
).
Passo 4
Precisamos agora passar do limite de
para o limite de
. Usamos o teorema de continuidade: se
e
é contínua em
, então
. A função tangente é dada por
e é contínua em todo ponto onde
. Verifiquemos
:
Portanto
é contínua em
, e podemos trocar limite e função:
Passo 5
Calculamos o valor da tangente em
:
Conclusão didática: não houve problema com descontinuidades da tangente porque o argumento converge a um ponto onde
é bem definida; por isso a sequência
converge para
.