Questão 15. Determine se as sequências abaixo de termo geral a_{n} são convergentes. Calcule o limite, se existir, usando as propriedades de limites.
[ a_{n}=\tan \left(\frac{2 n \pi}{1+8 n}\right) ]

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência a_{n} é convergente e, se for, calcular o limite. A sequência dada é
a_{n}=\tan\!\left(\frac{2 n \pi}{1+8 n}\right).
Informações relevantes fornecidas: o termo geral é a função tangente aplicada ao quociente \dfrac{2 n \pi}{1+8 n} e consideramos n\to\infty. Nada mais foi omitido no enunciado.

Passo 2

Vamos primeiro analisar a sequência dos argumentos da tangente. Defina
b_{n}=\frac{2 n \pi}{1+8 n}.
Para calcular \lim_{n\to\infty} b_{n} factoramos n do numerador e do denominador (isso é uma técnica padrão para limites de quocientes envolvendo n):
b_{n}=\frac{2 n \pi}{1+8 n}=\frac{2\pi}{\dfrac{1}{n}+8}=\frac{2\pi}{8+\dfrac{1}{n}}.
Aqui usei a propriedade de limites que nos permite dividir numerador e denominador por n (não muda a expressão para n\neq0).

Passo 3

Agora aplicamos a propriedade dos limites que diz que \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0. Assim, tomando limite em ambos os lados:
\lim_{n\to\infty} b_{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{2\pi}{8+\dfrac{1}{n}}=\frac{2\pi}{8+0}=\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}.
Comentário didático rápido: esse cálculo usa regras básicas de limites (limite da soma, do produto e do quociente quando o denominador não se anula no limite). Um exemplo análogo é \lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{n+1}=1, feito do mesmo jeito (dividindo por n).

Passo 4

Precisamos agora passar do limite de b_{n} para o limite de a_{n}=\tan(b_{n}). Usamos o teorema de continuidade: se x_{n}\to L e f é contínua em L, então f(x_{n})\to f(L). A função tangente é dada por \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e é contínua em todo ponto onde \cos x\neq 0. Verifiquemos \cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right):
\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\neq 0.
Portanto \tan x é contínua em x=\dfrac{\pi}{4}, e podemos trocar limite e função:
\lim_{n\to\infty} a_{n}=\lim_{n\to\infty}\tan(b_{n})=\tan\!\left(\lim_{n\to\infty} b_{n}\right)=\tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right).

Passo 5

Calculamos o valor da tangente em \dfrac{\pi}{4}:
\tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=1.
Conclusão didática: não houve problema com descontinuidades da tangente porque o argumento converge a um ponto onde \tan é bem definida; por isso a sequência \{a_{n}\} converge para 1.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=1

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