Questão 15. Determine se as sequências abaixo de termo geral
são convergentes. Calcule o limite, se existir, usando as propriedades de limites.
[ a_{n}=\frac{n}{2^{n}} ]
[ a_{n}=\frac{n}{2^{n}} ]
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a sequência de termo geral
é convergente e, se for, calcular o seu limite. A sequência dada é
Informações relevantes que o enunciado fornece:
A pergunta explícita: a sequência
converge? Se converge, qual é
?
Passo 2
Observação inicial e estratégia intuitiva (sem resolver ainda): o numerador cresce linearmente em
e o denominador cresce exponencialmente em
. Intuitivamente, exponenciais com base maior que
crescem muito mais rápido que polinômios, então esperamos que
vá para
. Agora vamos transformar essa ideia em um argumento rigoroso usando propriedades de limites.
Passo 3
Lembra que uma ferramenta útil é comparar termos sucessivos da sequência. Calculamos a razão entre termo seguinte e termo atual:
Essa expressão é toda em função de
e é mais simples de analisar.
Passo 4
Calculemos o limite da razão quando
:
Portanto a razão entre termos consecutivos tende a
, que é menor que
.
Passo 5
Explicação da propriedade que vamos usar: se uma sequência de termos não negativos
satisfaz
com
, então
. Motivo intuitivo: para
grande os fatores
ficam próximos de
, então a sequência é dominada por uma progressão geométrica com razão menor que
, e tais progressões tendem a
.
Transformando a propriedade em um argumento concreto para nosso caso: escolha um número tal que
. Por exemplo, tome
. Como
, existe
tal que para todo
temos
Transformando a propriedade em um argumento concreto para nosso caso: escolha um número
No nosso caso particular, verificamos diretamente que para
e para todo
,
pois
equivale a
. Então podemos escolher
.
Passo 6
A partir da desigualdade
para
obtemos, por multiplicação telescópica,
Explicando:
,
, e assim por diante; por indução chega-se à fórmula acima.
Sabemos que uma sequência geométrica com razão tal que
tende a
:
Sabemos que uma sequência geométrica com razão
Multiplicando por
(constante), deduzimos
Pelo encolhimento desigual (passo anterior), isso implica pelo teorema do confronto que
Passo 7
Comentário final e intuição reforçada: a razão entre termos tende a
(menor que
), o que garante que a sequência decresce geometricamente a partir de um índice e, portanto, o crescimento exponencial no denominador domina o crescimento linear do numerador. Assim, os termos vão a zero.
Resposta
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