Questão 15. Determine se as sequências abaixo de termo geral a_{n} são convergentes. Calcule o limite, se existir, usando as propriedades de limites.
[ a_{n}=\frac{n}{2^{n}} ]

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência de termo geral a_{n} é convergente e, se for, calcular o seu limite. A sequência dada é
a_{n}=\frac{n}{2^{n}}.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
\text{(i)}\; a_{n}=\frac{n}{2^{n}}\quad\text{para }n\in\mathbb{N}.
A pergunta explícita: a sequência \{a_{n}\} converge? Se converge, qual é \lim_{n\to\infty}a_{n}?

Passo 2

Observação inicial e estratégia intuitiva (sem resolver ainda): o numerador cresce linearmente em n e o denominador cresce exponencialmente em 2^{n}. Intuitivamente, exponenciais com base maior que 1 crescem muito mais rápido que polinômios, então esperamos que a_{n} vá para 0. Agora vamos transformar essa ideia em um argumento rigoroso usando propriedades de limites.

Passo 3

Lembra que uma ferramenta útil é comparar termos sucessivos da sequência. Calculamos a razão entre termo seguinte e termo atual:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{\dfrac{n+1}{2^{n+1}}}{\dfrac{n}{2^{n}}}=\frac{n+1}{2^{n+1}}\cdot\frac{2^{n}}{n}=\frac{n+1}{2n}.
Essa expressão é toda em função de n e é mais simples de analisar.

Passo 4

Calculemos o limite da razão quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}\right)=\frac{1}{2}.
Portanto a razão entre termos consecutivos tende a \tfrac{1}{2}, que é menor que 1.

Passo 5

Explicação da propriedade que vamos usar: se uma sequência de termos não negativos \{a_n\} satisfaz \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=r com 0\le r<1, então a_n\to 0. Motivo intuitivo: para n grande os fatores a_{n+1}/a_n ficam próximos de r, então a sequência é dominada por uma progressão geométrica com razão menor que 1, e tais progressões tendem a 0.
Transformando a propriedade em um argumento concreto para nosso caso: escolha um número q tal que \tfrac{1}{2}<q<1. Por exemplo, tome q=\tfrac{3}{4}. Como \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\tfrac{1}{2}, existe N\in\mathbb{N} tal que para todo n\ge N temos
\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\le q.
No nosso caso particular, verificamos diretamente que para q=\tfrac{3}{4} e para todo n\ge 2,
\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{n+1}{2n}\le\frac{3}{4},
pois \frac{n+1}{2n}\le\frac{3}{4} equivale a n\ge 2. Então podemos escolher N=2.

Passo 6

A partir da desigualdade \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\le q para n\ge N obtemos, por multiplicação telescópica,
a_{n}\le a_{N}\,q^{\,n-N}\quad\text{para todo }n\ge N.
Explicando: a_{N+1}\le a_{N}q, a_{N+2}\le a_{N+1}q\le a_{N}q^{2}, e assim por diante; por indução chega-se à fórmula acima.
Sabemos que uma sequência geométrica com razão q tal que |q|<1 tende a 0:
\lim_{n\to\infty}q^{n-N}=0.
Multiplicando por a_{N} (constante), deduzimos
\lim_{n\to\infty}a_{N}\,q^{\,n-N}=0.
Pelo encolhimento desigual (passo anterior), isso implica pelo teorema do confronto que
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

Passo 7

Comentário final e intuição reforçada: a razão entre termos tende a \tfrac{1}{2} (menor que 1), o que garante que a sequência decresce geometricamente a partir de um índice e, portanto, o crescimento exponencial no denominador domina o crescimento linear do numerador. Assim, os termos vão a zero.

Resposta

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