Questão 15. Determine se as sequências abaixo de termo geral a_{n} são convergentes. Calcule o limite, se existir, usando as propriedades de limites.
[ a_{n}=n^{2} e^{-n} ]

Passo 1

O enunciado pede: determinar se a sequência de termo geral \,a_n = n^{2} e^{-n}\, é convergente e, caso exista, calcular o limite.
Informações dadas: a sequência está definida para n\in\mathbb{N} e o termo geral é \,a_n = n^{2} e^{-n}\,. Não há outras condições ou parâmetros.

Passo 2

Observação inicial e sinal dos termos.
Cada termo \,a_n = n^{2} e^{-n}\, é produto de n^{2} (número não negativo para n\ge1) e e^{-n} (sempre positivo), logo
0 \le a_n \quad\text{para todo } n\ge 1.
Isso é útil porque permite usar comparações com sequências positivas.

Passo 3

Lembrando uma propriedade útil de e^x: a série infinita de Taylor dá
e^{x} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!},
e todos os termos dessa soma são não negativos quando x\ge 0. Portanto, para qualquer número real x\ge 0 e, em particular, para x=n inteiro positivo, temos, tomando só o termo de grau 3,
e^{n} \ge \frac{n^{3}}{3!} = \frac{n^{3}}{6}.
Expliquei isso porque somar vários termos positivos só aumenta o valor: a soma inteira e^n é maior ou igual a qualquer único termo que aparece nela.

Passo 4

Usando a desigualdade do passo anterior, fazemos uma comparação direta com \,a_n. Como e^{n}\ge n^{3}/6, temos
a_n \;=\; \frac{n^{2}}{e^{n}} \;\le\; \frac{n^{2}}{\,n^{3}/6\,} \;=\; \frac{6}{n},
valendo essa desigualdade para todo n\ge 1.

Passo 5

Estudo do limite da sequência comparadora. Sabemos que
\lim_{n\to\infty}\frac{6}{n} = 0,
porque \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0 e multiplicar por constante mantém o limite. (Intuitivamente, 1/n vai a zero quando n cresce.)

Passo 6

Aplicando o Teorema do Confronto (teorema do aperto / squeeze theorem). Temos para todo n\ge1
0 \le a_n \le \frac{6}{n},
e já vimos que o limite de \,6/n\, é 0. Pelo teorema do confronto, segue que
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Portanto a sequência é convergente e seu limite é 0.

Passo 7

Comentário rápido (motivação): escolhi a comparação com a série de e^{n} porque é uma ideia elementar e evita cálculo pesado. Outra maneira comum seria notar que \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \to \dfrac{1}{e}<1, o que também indica que os termos tendem a zero; ambas as ideias refletem o fato prático: exponencial cresce muito mais rápido que polinômio.

Resposta

Convergente, \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = 0

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