Questão 15. Determine se as sequências abaixo de termo geral
são convergentes. Calcule o limite, se existir, usando as propriedades de limites.
[ a_{n}=n^{2} e^{-n} ]
[ a_{n}=n^{2} e^{-n} ]
Passo 1
O enunciado pede: determinar se a sequência de termo geral
é convergente e, caso exista, calcular o limite.
Informações dadas: a sequência está definida para e o termo geral é
. Não há outras condições ou parâmetros.
Informações dadas: a sequência está definida para
Passo 2
Observação inicial e sinal dos termos.
Cada termo é produto de
(número não negativo para
) e
(sempre positivo), logo
Cada termo
Isso é útil porque permite usar comparações com sequências positivas.
Passo 3
Lembrando uma propriedade útil de
: a série infinita de Taylor dá
e todos os termos dessa soma são não negativos quando
. Portanto, para qualquer número real
e, em particular, para
inteiro positivo, temos, tomando só o termo de grau
,
Expliquei isso porque somar vários termos positivos só aumenta o valor: a soma inteira
é maior ou igual a qualquer único termo que aparece nela.
Passo 4
Usando a desigualdade do passo anterior, fazemos uma comparação direta com
. Como
, temos
valendo essa desigualdade para todo
.
Passo 5
Estudo do limite da sequência comparadora. Sabemos que
porque
e multiplicar por constante mantém o limite. (Intuitivamente,
vai a zero quando
cresce.)
Passo 6
Aplicando o Teorema do Confronto (teorema do aperto / squeeze theorem). Temos para todo
e já vimos que o limite de
é
. Pelo teorema do confronto, segue que
Portanto a sequência é convergente e seu limite é
.
Passo 7
Comentário rápido (motivação): escolhi a comparação com a série de
porque é uma ideia elementar e evita cálculo pesado. Outra maneira comum seria notar que
, o que também indica que os termos tendem a zero; ambas as ideias refletem o fato prático: exponencial cresce muito mais rápido que polinômio.
Resposta
Convergente,