Questão 15. Determine se as sequências abaixo de termo geral
são convergentes. Calcule o limite, se existir, usando as propriedades de limites.
Passo 1
O enunciado dá a sequência de termo geral
e pede para determinar se essa sequência é convergente e, em caso afirmativo, calcular o seu limite usando propriedades de limites.
Informações fornecidas:
- A sequência é
. -
é um índice natural que tende para o infinito ( ). - Precisamos dizer se
converge e, se convergir, encontrar .
Passo 2
Ideia e justificativa do método que vou usar (explico calmamente):
- Trabalhar com uma potência cujo expoente depende de
fica mais fácil se aplicarmos o logaritmo natural. Isso transforma a potência em produto, que é mais simples de analisar com limites. - Depois de calcular o limite do logaritmo natural da sequência, usaremos a continuidade da função exponencial para voltar ao valor de
.
Vou definir a sequência dos logaritmos:
Explicação da transformação: para qualquer número positivo
e qualquer real
, vale
. Aqui
e
, então podemos aplicar essa propriedade sem problemas.
Se conseguirmos
, então pela continuidade da exponencial teremos
Observação: a continuidade da exponencial significa exatamente isso — se
então
.
Passo 3
Calcular o limite de
. Começamos escrevendo
de forma conveniente:
Para estudar esse limite, fazemos a mudança de variável
. Quando
temos
. Reescrevendo,
pois
implica
e portanto
.
Agora precisamos do seguinte limite fundamental:
Vou justificar esse limite de forma elementar (sem apelar apenas à notação de derivada): pelo Teorema do Valor Médio (MVT) aplicado à função
no intervalo
com
, existe
tal que
Como
, obtemos
Como
, temos
. Portanto
Dividindo tudo por
dá
Tomando
as duas extremidades tendem a
, logo pelo princípio do confronto concluímos
Voltando para
, com
,
Passo 4
Voltar da sequência dos logaritmos para a sequência original:
- Encontramos
. - Como
e a exponencial é contínua, segue que
Comentário motivador: isso mostra um caso particular de uma regra mais geral: para qualquer constante real
,
Um exemplo clássico é
, que dá
.