Questão 15. Determine se as sequências abaixo de termo geral a_{n} são convergentes. Calcule o limite, se existir, usando as propriedades de limites.
a_{n}=\left(1+\frac{3}{n}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado dá a sequência de termo geral a_{n}=\left(1+\dfrac{3}{n}\right)^{n} e pede para determinar se essa sequência é convergente e, em caso afirmativo, calcular o seu limite usando propriedades de limites.
Informações fornecidas:
  • A sequência é a_{n}=\left(1+\dfrac{3}{n}\right)^{n}.
  • n é um índice natural que tende para o infinito ( n\to\infty).
  • Precisamos dizer se a_n converge e, se convergir, encontrar \lim_{n\to\infty} a_n.

Passo 2

Ideia e justificativa do método que vou usar (explico calmamente):
  • Trabalhar com uma potência cujo expoente depende de n fica mais fácil se aplicarmos o logaritmo natural. Isso transforma a potência em produto, que é mais simples de analisar com limites.
  • Depois de calcular o limite do logaritmo natural da sequência, usaremos a continuidade da função exponencial para voltar ao valor de a_n.
Vou definir a sequência dos logaritmos:
b_n=\ln(a_n)=\ln\!\left(\left(1+\dfrac{3}{n}\right)^{n}\right).
Explicação da transformação: para qualquer número positivo x e qualquer real y, vale \ln(x^y)=y\ln x. Aqui x=1+\dfrac{3}{n}>0 e y=n, então podemos aplicar essa propriedade sem problemas.
Se conseguirmos \lim_{n\to\infty} b_n = L, então pela continuidade da exponencial teremos
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} e^{b_n} = e^{\lim_{n\to\infty} b_n} = e^{L}.
Observação: a continuidade da exponencial significa exatamente isso — se b_n\to L então e^{b_n}\to e^{L}.

Passo 3

Calcular o limite de b_n. Começamos escrevendo b_n de forma conveniente:
b_n = n\ln\!\left(1+\dfrac{3}{n}\right).
Para estudar esse limite, fazemos a mudança de variável t=\dfrac{3}{n}. Quando n\to\infty temos t\to 0^{+}. Reescrevendo,
b_n = \dfrac{\ln(1+t)}{t}\cdot 3,
pois t=\dfrac{3}{n} implica n=\dfrac{3}{t} e portanto n\ln\!\left(1+\dfrac{3}{n}\right)=\dfrac{\ln(1+t)}{t}\cdot 3.
Agora precisamos do seguinte limite fundamental:
\lim_{t\to 0} \dfrac{\ln(1+t)}{t} = 1.
Vou justificar esse limite de forma elementar (sem apelar apenas à notação de derivada): pelo Teorema do Valor Médio (MVT) aplicado à função f(x)=\ln(1+x) no intervalo [0,t] com t>0, existe c\in(0,t) tal que
\ln(1+t)-\ln(1+0)=f'\text{(c)}\cdot (t-0).
Como f'(x)=\dfrac{1}{1+x}, obtemos
\ln(1+t)=\dfrac{t}{1+c}.
Como c\in(0,t), temos 1+c\in(1,1+t). Portanto
\dfrac{t}{1+t} \le \ln(1+t) \le t.
Dividindo tudo por t>0
\dfrac{1}{1+t} \le \dfrac{\ln(1+t)}{t} \le 1.
Tomando t\to 0^{+} as duas extremidades tendem a 1, logo pelo princípio do confronto concluímos
\lim_{t\to 0^{+}} \dfrac{\ln(1+t)}{t} = 1.
Voltando para b_n, com t=\dfrac{3}{n}\to 0,
\lim_{n\to\infty} b_n = \lim_{t\to 0} 3\cdot \dfrac{\ln(1+t)}{t} = 3\cdot 1 = 3.

Passo 4

Voltar da sequência dos logaritmos para a sequência original:
  • Encontramos \lim_{n\to\infty} b_n = 3.
  • Como a_n = e^{b_n} e a exponencial é contínua, segue que
\lim_{n\to\infty} a_n = e^{\lim_{n\to\infty} b_n} = e^{3}.
Comentário motivador: isso mostra um caso particular de uma regra mais geral: para qualquer constante real c,
\lim_{n\to\infty} \left(1+\dfrac{c}{n}\right)^{n} = e^{c}.
Um exemplo clássico é c=1, que dá \lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}=e.

Resposta

\displaystyle e^{3}

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