Questão 15. A equação de Bernoulli pode ser entendida como uma representação da conservação de
\_\_\_\_ ao longo de uma linha de fluxo de um fluido ideal.
A) volume
B) momento
C) massa
D) vazão
E) energia

Passo 1

O enunciado pede completar a frase: “A equação de Bernoulli pode ser entendida como uma representação da conservação de \_\_\_\_ ao longo de uma linha de fluxo de um fluido ideal.”
As alternativas são:
A) volume
B) momento
C) massa
D) vazão
E) energia

Passo 2

Vou escrever a forma mais comum da equação de Bernoulli e explicar o que cada termo significa, sem pular etapas. Para um fluido ideal (sem viscosidade), escoamento estacionário e incompressível, entre dois pontos quaisquer ao longo da mesma linha de fluxo vale:
p + \tfrac{1}{2}\rho v^{2} + \rho g z = \text{constante}
Aqui:
  • p é a pressão no ponto (unidade: \text{N/m}^2);
  • \rho é a densidade do fluido (unidade: \text{kg/m}^3);
  • v é a velocidade do fluido nesse ponto (unidade: \text{m/s});
  • g é a aceleração da gravidade (unidade: \text{m/s}^2);
  • z é a cota vertical do ponto (unidade: \text{m}).
Observação importante: se dividirmos toda a equação por \rho obtemos a forma por unidade de massa:
\frac{p}{\rho} + \tfrac{1}{2}v^{2} + g z = \text{constante},
que facilita interpretar cada termo como uma energia por unidade de massa.

Passo 3

Agora, vou derivar a ideia física por trás da equação de forma elementar (sem usar fórmulas avançadas): imaginar um pequeno volume elementar do fluido que se desloca entre dois pontos 1 e 2 ao longo da linha de fluxo.
  1. Tome um volume elementar incompressível \mathrm{d}V. A massa desse elemento é \mathrm{d}m=\rho\,\mathrm{d}V.
  2. Trabalho das forças de pressão: a diferença de pressão entre as duas faces faz trabalho sobre o elemento igual a (p_{1}-p_{2})\,\mathrm{d}V.
  3. Trabalho da gravidade: o peso \rho\,\mathrm{d}V\cdot g realiza trabalho quando o elemento sobe ou desce; entre alturas z_{1} e z_{2} o trabalho da gravidade é -\rho g (z_{2}-z_{1})\,\mathrm{d}V. (Sinal negativo se o elemento sobe, porque a gravidade retira energia.)
  4. Variação da energia cinética: a mudança na energia cinética do elemento é \tfrac{1}{2}\rho\,\mathrm{d}V\,(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}).
Pelo teorema trabalho-energia: trabalho total realizado pelas forças externas = variação da energia cinética. Portanto
(p_{1}-p_{2})\,\mathrm{d}V - \rho g (z_{2}-z_{1})\,\mathrm{d}V = \tfrac{1}{2}\rho\,\mathrm{d}V\,(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}).
Dividindo por \mathrm{d}V e rearranjando, obtemos
p_{1} + \tfrac{1}{2}\rho v_{1}^{2} + \rho g z_{1} = p_{2} + \tfrac{1}{2}\rho v_{2}^{2} + \rho g z_{2},
ou seja, a quantidade p + \tfrac{1}{2}\rho v^{2} + \rho g z é a mesma nos dois pontos — é constante ao longo da linha de fluxo.

Passo 4

Interpretação física clara e passo a passo: cada termo corresponde a um tipo de energia associado ao fluido, por unidade de volume (se não dividirmos por \rho) ou por unidade de massa (se dividirmos por \rho):
  • p representa a “energia de pressão” (energia ligada às forças de pressão; multiplicando por um volume dá trabalho/energia).
  • \tfrac{1}{2}\rho v^{2} é a energia cinética por unidade de volume.
  • \rho g z é a energia potencial gravitacional por unidade de volume.
A soma desses três termos é conservada ao longo de uma linha de fluxo em um fluido ideal nas condições citadas. Em palavras simples: Bernoulli expressa a conservação da energia mecânica (pressão + cinética + potencial) ao longo da linha de fluxo.

Passo 5

Relacionando com as alternativas: as opções A a D (volume, momento, massa, vazão) não correspondem à ideia expressa pela equação de Bernoulli. A equação representa a conservação da energia mecânica (por unidade de massa ou volume, conforme escrito). Portanto a alternativa correta é a alternativa E.

Resposta

E) energia

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